Discussion:Fonctionnelle de Minkowski

Illustration et autre coquille

Bon, je découvre la notion et vous me pardonnerez ma naiveté. Quand je découvre une notion, je tente toujours de m'en faire une image mentale, bref une illustration. Ce qui donne l'image ci-contre.

Comportement d'une fonction de Minkowski dans le cas d'un ensemble non convexe et ne contenant pas 0

Cependant, comme je ne connais pas l'usage réel de cette fonction, mon illustration peut être à terme plus source de confusion qu'autre chose. C'est la raison pour laquelle je ne la propose qu'en page de discussion.

Cette illustration m'a fait découvrir ce qui semble bien être une autre coquille:

si l'ensemble P, quoique convexe, ne contient pas 0, alors il n'est pas nécessaire que toute la demi-droite issue de 0 et passant par x soit dans P pour que μP(x) soit nul. Quand Touriste avait affirmé la chose, il s'était d'emblée limité à un convexe contenant l'origine. Les Anglais, eux, se limitent à un ensemble convexe symétrique et les Allemands à un ensemble convexe absorbant.

Ma question est donc double.

1. Mon illustration a-t-elle une quelconque pertinence ?
2. Ne faudrait-il pas corriger la coquille

HB (discuter) 15 décembre 2016 à 14:11 (CET)

Oui il faut corriger la coquille; je vous laisse intervenir. J'avoue (avec la crainte d'être maintenant complètement assassiné au vu de ce vous écrivez sur moi sur Le Thé), que je n'ai pas vérifié l'article à partir du titre Fonction de Minkowski ne prenant pas la valeur +∞, en partie parce que je ne suis pas sûr de l'utilité de ce qui suit ce titre. Ce qui précède l'est à mes yeux (je l'ai plus ou moins utilisé dans un article récemment publié, raison pour laquelle je suis intervenu sur cet article ainsi que sur celui sur sa cousine, la jauge). Merci pour votre relecture attentive de l'article et de votre intérêt pour les problèmes de fond (ce n'est pas le cas de tous les contributeurs). Cordialement, JChG (discuter) 15 décembre 2016 à 15:09 (CET)

Fait. En réalité, la condition « contenant 0 » était en introduction de section mais trop loin pour que cela puisse servir de référence. En fait, toute la section Cas d'un ensemble convexe ne traite que le cas où C est un ensemble convexe contenant 0. Pourquoi ne pas la titrer Cas d'un ensemble convexe contenant l'origine? HB (discuter) 16 décembre 2016 à 07:42 (CET)

Pourquoi pas en effet. JChG (discuter) 16 décembre 2016 à 09:08 (CET)

La parenthèse du 15/12 « (ce n'est pas le cas de tous les contributeurs) » manque, entre autres, de lucidité. Nous œuvrons ici depuis 3 semaines, comme ailleurs sur WP, à l'amélioration de l'article (sans que des remerciements soient de mise, puisqu'il ne s'agit pas de complaire à tel ou tel des contributeurs successifs).

J'ai à mon tour « découvert ce qui semble bien être d'autres coquilles », dans le § « Polaire » de « Jauge (analyse convexe) » qui est en préparation de fusion. Je vais y remédier dans mon brouillon :

• l'« inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée » et l'« inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée renforcée » n'ont a priori pas de sens lorsque le majorant est $0\times +\infty$ : rectifiable et sourçable par Rockafellar p. 130 ;
• la note« Rockafellar (1970, p. 128) note et définit la polaire d'une jauge $\jmath$ par $\textstyle \jmath ^{\circ }(y):=\inf _{s}\{s\geqslant 0:\langle y,x\rangle \leqslant s\,\jmath (x)$, $\forall \,x\in \mathbb {E} \},$ ce qui revient au même. »,que je compte supprimer, serait, si l'on croyait vraiment qu'elle apporte au lecteur plus de lumière que de migraine, à rectifier en« Rockafellar 1970, p. 128, note et définit la polaire d'une jauge $p$ par $p^{\circ }(y):=\inf \,\{s\geq 0\mid \langle x,y\rangle \leq s\,p(x),\forall \,x\}$, ce qui, en considérant que $x$ varie dans $\operatorname {dom} \,p$ ou en adoptant la convention $0\times \infty =0$, revient au même. ».

Anne, 30/12, 17 h 55 (+ 31/12, 12 h 33 pour l'ajout grâce à HB, de « ou en adoptant la convention $0\times \infty =0$ », mais je reste pour l'instant convaincue qu'il vaut mieux ne pas mentionner ces subtilités, même en note)

Historique de l'article et perplexité

En 2007, Touriste crée cet article et le nomme Jauge (mathématiques) (l'ensemble C est alors un convexe contenant l'origine). En 2010 l'article est une première fois renommé en jauge (géométrie) et Anne Bauval ajoute que la jauge s'appelle parfois fonctionnelle de Minkowski (sur le net une fonctionnelle de Mikowski, cela peut aussi signifier autre chose [1]). En 2015, JchG commence par compléter l'article [2] par une introduction mettant en évidence qu'il souhaite une autre définition de jauge, introduit le terme de fonction de Minkowski et modifie l'ensemble concerné par cette dernière (il passe de convexe contenant 0 à ensemble quelconque). En 2016, JchG crée ce qui me semble un doublon assumé : Jauge (analyse convexe) qui privilégie la définition fonctionnelle par rapport à la référence à un convexe contenant zéro. Il renomme alors l'article de Touriste de Jauge (géométrie) en Fonction de Minkowski (analyse convexe) mais conserve les interwikis. Tout ceci n'a pas beaucoup de sens :

1. les articles des autres langues travaillent tous sur des ensembles qui sont au moins des convexes contenant 0 (chez les Anglais il est en outre symétrique et chez les Allemands, il est en outre absorbant)
2. si la fonction de Minkowski peut s'appliquer à des ensembles non convexes, pourquoi la précision analyse convexe et le rangement dans la catégorie correspondante ?

Bref on se trouve maintenant avec un article ayant perdu son titre d'origine (jauge) et son esprit d'origine (convexe contenant 0) , ayant un titre pour lequel j'ai du mal à trouver des sources et relié par des interwikis à des articles qui ne parlent plus du même objet. Nous avons d'autre part un autre article Jauge (analyse convexe) qui traite , il me semble, peu ou prou du même objet que les articles interwiki mais en faisant une introduction fonctionnelle et n'est relié par aucun interwiki.

Je n'ai pas compétence pour savoir si l'introduction fonctionnelle est plus pertinente que l'introduction par le convexe contenant 0, ni pour savoir si le terme de fonction de Minkowski est sourçable, ni pour savoir si elle a un sens pour d'autres ensembles que pour des convexes contenant 0 Mais en l'état, tout ceci me semble un beau désordre dénaturant le travail initial de Touriste. Malheureusement, je ne sais pas comment réparer le tout. HB (discuter) 16 décembre 2016 à 10:37

J'avais créé le redirect « fonctionnelle de Minkowski » en remarquant, lors d'un patrouillage, un lien dans Espace vectoriel topologique qui était rouge mais voulait visiblement signifier cela. Je l'avais par conséquent signalé dans cet article-ci par cette expression en gras, qui a bien entendu été effacée, bien que son usage en ce sens soit fréquent. Il faudrait juste ajouter qu'elle risque de prêter à confusion avec Contenu de Minkowski (en). Anne, 16/12/2016, 12 h 22

Navré de ne pas pouvoir participer au débat en ce moment. Trop de travaux à terminer en cette fin d'année. Ne peut-on pas suspendre ce débat pour quelques semaines? Merci. JChG (discuter) 17 décembre 2016 à 09:28 (CET)

Puisque vous êtes si occupé, ne pouvez-vous pas également vous abstenir, durant quelques semaines, de reverter sèchement toute modification de l'article (telle celle signalée par Anne) faite de bonne foi et risquant même de l'améliorer?--Dfeldmann (discuter) 17 décembre 2016 à 11:05

Je ne me rappelle pas avoir fait une réversion depuis le début des discussions sur cet article. Cet avis négatif sur mon comportement ne correspond pas à l'idée que je me fais de moi-même. Merci de vérifier vos accusations avant de vous exprimer. JChG (discuter) 17 décembre 2016 à 20:41 (CET)

Anne Bauval avait introduit l'expression fonctionnelle de Minkowski le 2 juillet 2010 ; vous l'avez supprimée le 27 mai 2015 (le lendemain de vos premières interventions). Un des reverts secs auxquels je faisais allusion est par exemple celui du 14 décembre (assez récent, donc) de ses suppressions des liens sur "jauge". Je n'ai pas, moi non plus, l'habitude de m'exprimer sans vérifier mes dires, mais vous donne cependant acte de ce que, depuis l'ouverture de cette discussion par HB (il y a deux jours), vous n'êtes plus intervenu sur l'article ...--Dfeldmann (discuter) 17 décembre 2016 à 21:01

 HB :,  Dfeldmann :, et al. Je m'étais fait les mêmes remarques que HB (ci-dessus). Pour « réparer le tout », j'ai donc fait ce brouillon, prêt à être copié-collé à la place du texte actuel de l'article « Fonction de Minkowski (analyse convexe) », que je propose de renommer ensuite « Jauge d'un convexe ». C'est une synthèse de la version du 26/11/2014 et d'un condensé — sans perdre aucune information — des ajouts faits depuis le 26/5/2015 et du fork créé le 24/7/2016 sous l'intitulé Jauge (analyse convexe), qu'il suffira ensuite de rediriger ici. Anne, 27/12/16 à 12 h 41

Tout a fait d'accord, évidemment --Dfeldmann (discuter) 27 décembre 2016 à 13:25

Favorable à cette fusion. Une suggestion concernant le polaire : pourquoi le définir comme $P^{\circ }:=\{x^{*}\in E\mid \forall x\in P\quad \langle x^{*},x\rangle \leq 1\}$, au risque de troubler les débutants comme moi pour lesquels la notation $x^{*}$ fait en général référence à un objet dépendant de $x$, au lieu de le définir bêtement comme le font la plupart des sources comme $P^{\circ }:=\{y\in E\mid \forall x\in P\quad \langle y,x\rangle \leq 1\}$ ? HB (discuter) 28 décembre 2016 à 08:17

Ah oui, tiens ! j'ai donc fait (dans mon brouillon) cette amélioration. J'y ai aussi simplifié une démo de fin juillet, grâce au § « Fonction de Minkowski ne prenant pas la valeur +∞ » de Touriste (que JChG confessait n'avoir pas lu attentivement tout en n'étant « pas sûr de son utilité », contrairement à celle de ses propres ajouts), que j'ai replacé au-dessus des ajouts récents. Faut-il lancer une PàF ou juste attendre quelque jours ? Anne, 28/12/16

Bon, je suis favorable à l'idée de prendre un peu son temps. JChG nous a demandé d'attendre et, même si lui n'a pas respecté la trêve qu'il a demandée, il serait de bon ton de patienter un peu. Disons, les fêtes passées, on peut officiellement proposer les deux articles à la fusion. Cela permettrait de faire au grand jour cette opération et laisser à tous le temps de réagir. Je pense cette fusion nécessaire pour réparer le désordre induit par cette création de doublon. Nous sommes tous responsables de ce désordre car personne n'a réagi à l'annonce de JChG[3] en juillet concernant la modification de ces pages. Comme je suis une incorrigible optimiste, j'espère que JChG saura mettre de côté ses inimitiés personnelles pour reconnaitre la nécessité de cette action et contribuer à ce qu'aucune information qu'il pourrait juger importante ne soit oubliée. HB (discuter) 29 décembre 2016 à 09:53 (CET)

PS (ah, ce sentiment de jouer à l'équilibriste en faisant une lecture critique d'un sujet que je ne maîtrise pas...) Sur la sous-différentiabilité, ta dernière preuve utilise une équivalence ($p$ ne prend que des valeurs finie si et seulement si 0 est intérieur à $C_{p}$). Or je crois bien que Touriste énonce l'équivalence seulement en dimension finie. PS2 : pourquoi ne pas avoir créé de section pour la conjuguée d'une jauge ? HB (discuter) 29 décembre 2016 à 11:24

Ok, attendons quelques jours d'éventuels avis supplémentaires. Mais tu as sûrement déjà constaté le soin que j'ai pris, dans ce gros travail de compactage et d'améliorations de forme et de fond, de ne perdre aucune info, donc même si JChG reparaissait, je ne vois pas trop ce qu'il pourrait honnêtement objecter.

Rép. au PS1 : toute la section Jauge (analyse convexe)#Aspects calculatoires, convertie en Utilisateur:Anne Bauval/Jauge d'un convexe#Aspects calculatoires, se passe dans un espace euclidien, donc de dimension finie.

Rép. au PS2 : après quelques hésitations, j'avais trouvé comment remplacer cette sous-section quasi-vide par une demi-phrase plus informative (elle indique comment ça se démontre).

Anne, 29/12, 16 h 08

Preuve est donc faite que je ne maîtrise pas le sujet Merci pour ta patiente réponse. HB (discuter) 29 décembre 2016 à 18:59

Fusion de Jauge (analyse convexe) et Fonction de Minkowski (analyse convexe)

Discussion transférée depuis Wikipédia:Pages à fusionner

Résumé de #Historique de l'article et perplexité :

L'article originel était Jauge (mathématiques), renommé Jauge (géométrie). En 2016, il a été à nouveau renommé en Fonction de Minkowski (analyse convexe) et le fork Jauge (analyse convexe) a été créé. J'ai fait la synthèse de ce nouvel article et de l'ancien dans ce brouillon, prêt à être copié-collé à la place du texte actuel de l'article « Fonction de Minkowski (analyse convexe) », que je propose de renommer ensuite soit par l'un de ses 2 anciens titres, soit (moindre surprise) Jauge d'un convexe. HB (d · c · b) et Dfeldmann (d · c · b) sont d'accord. Anne 12 janvier 2017 à 18:28

• Pour--Cbyd (discuter) 12 janvier 2017 à 23:01

Fonctionnelle de Minkowski d'une partie étoilée par rapport à 0

J'ai mis du nouveau (avec une source en béton) dans Partie étoilée. Je pense l'ajouter aussi dans mon brouillon, avec des compléments issus de cette même source. Du coup je me demande s'il vaut mieux nommer l'article « Jauge d'un convexe » ou « Fonctionnelle de Minkowski » (avec de toutes façons un redirect de l'un vers l'autre). Anne, 16/1/17

Tu risques de me prendre pour une girouette mais à partir du moment où on a une source qui indique qu'il existe une différence entre Jauge et fonctionnelle de Minkowski[4], il me semble que l'on aurait besoin de deux articles : un gros article sur lequel tu as travaillé, appelé jauge d'un convexe, obtenu par fusion des deux articles actuels et un article court donnant les propriétés générales d'une fonctionnelle de Minkowski non liées à la convexité. Cependant, une telle organisation compliquerait gravement la gestion des interwikis. Du coup, je me trouve dans une impasse et ta proposition est probablement la moins mauvaise solution d'en sortir. HB (discuter) 17 janvier 2017 à 07:51

J'ai fini. J'ai la très forte impression que « Jauge de » est le synonyme (commode !) de « Fonctionnelle de Minkowski de » ([5], [6], [7]). Il faut donc absolument éviter, à mon avis, de déclarer que « jauge » signifie « jauge sous-linéaire », c'est-à-dire « jauge convexe et nulle en 0 », c'est-à-dire encore « jauge d'un convexe contenant 0 » (Rockafellar se le permettait parce qu'il ne s'occupait que de celles-là). En plus des complications d'interwikis, mon brouillon est difficile à couper en deux parce que les propriétés s'enchaînent et s'affinent progressivement. Si on ne le coupe pas, je crois finalement que le meilleur titre, en l'état, serait « Fonctionnelle de Minkowski ». Anne, 21/1/17, 2 h 39

Convaincue de l'homonymie par tes sources auxquelles j'ajoute ce cours de l'université de Metz (ps et pdf). Ok pour un seul article Fonctionnelle de Minkowski avec redirect.

Une remarque cependant, je vois parfois (cours de l'université de Reims, wiki allemand ) la condition «C absorbant». Cela permet d'avoir une fonctionnelle à valeurs dans [0, + oo[. Je ne pense pas qu'il faille prendre cette restriction mais il me semble que la remarque «C absorbant implique fonctionnelle à valeur réelle» doit être mis en évidence ailleurs que dans le cas d'un convexe dans un ev de dim fini où la CNS change. HB (discuter) 21 janvier 2017 à 08:06