Cycle (géométrie algébrique)

objet mathématique

En géométrie algébrique, les cycles sont des combinaisons formelles de fermés irréductibles d'un schéma donné. Le quotient du groupe des cycles par une relation d'équivalence convenable aboutit aux groupes de Chow (en) qui sont des objets fondamentaux.

Tous les schémas considérés ici seront supposés noethériens de dimension finie.

DéfinitionModifier

On fixe un schéma   qu'on supposera noethérien de dimension finie  . Pour tout entier positif ou nul  , on appelle  -cycle irréductible (resp.  -cocycle irréductible) de   un fermé irréductible de dimension   (resp. codimension  ). Un  -cycle est une combinaison formelle finie

  •  

où les coefficients   sont des entiers relatifs, et où les   sont des  -cycles irréductibles. On définit similairement les  -cocycles. L'ensemble des  -cycles est un groupe commutatif, qui est d'ailleurs le groupe abélien libre engendré par les fermés irréductibles de dimension   de  . On note ce groupe  . Similairement, le groupe des cocycles est noté  . On remarque que ces groupes sont nuls si  .

Les 1-cocycles s'appellent les diviseurs de Weil. Ce sont donc des combinaisons entières de fermés irréductibles de codimension 1. Rappelons qu'un fermé irréductible est de codimension 1 si ce n'est pas une composante irréductible de  , et si tout fermé irréductible qui le contient strictement est une composante irréductible de  .

La somme directe (finie) des   est le groupe des cycles de  .

ExemplesModifier

  • Le groupe   est engendré par les composantes irréductibles de  .
  • Le groupe   est engendré par les composantes irréductibles de   de dimension maximale.
  • Le groupe   est engendré par les points fermés de  . Ce sont les 0-cycles.
  • Le groupe   est engendré certains points fermés (ceux qui sont de codimension  ).
  • Supposons que   soit irréductible de dimension 1. Alors  .

Diviseur principal et cycle principalModifier

Soit   un anneau local noethérien de dimension 1. Soit   un élément régulier non inversible de  . On définit l'ordre de   comme étant la longueur du  -module artinien  . Notons-le  . On montre que l'application ord est additif et induit donc un homomorphisme de groupes    désigne l'anneau total des fractions de  . Noter que si   est intègre, l'anneau total des fractions est simplement le corps des fractions.

Supposons   intègre. Soit   une fonction rationnelle non nulle sur   (c'est donc un élément du corps des fractions de   pour tout ouvert  ). Pour tout fermé irréductible   de codimension 1, de point générique  , l'anneau local   est de dimension 1. On note   l'ordre de la fraction   dans l'anneau local  . On pose

  •  

où la somme parcourt les points   de codimension 1, et où par commodité dactylographique   est l'adhérence de Zariski de   (c'est un 1-cocycle irréductible). On montre aisément (parce que   est noethérien) que c'est une somme finie. On a donc un diviseur de Weil. Un tel diviseur est appelé un diviseur principal sur  . On a

  •  

et  .

Par extension, les diviseurs principaux des fermés irréductibles de   forment un sous-groupe de   appelé le groupe des cycles principaux de  . Par exemple si   est de dimension 2, il y aura des diviseurs principaux de  , mais aussi des 0-cycles qui sont principaux dans des fermés irréductibles de dimension 1 de  .

On note   le groupe quotient de   par le sous-groupe des cycles principaux. Les images de   et de   dans   sont notées   et  . Ce sont les groupes de Chow (en) de  .

On dira, même si cela comporte des pathologies en dehors des variétés algébriques intègres, que deux cycles sur   sont rationnellement équivalents si leur différence appartient au groupe des cycles principaux.

Degré d'un 0-cycleModifier

On suppose que   est une variété algébrique sur un corps   (i.e. c'est un  -schéma de type fini). Pour tout point fermé   (donc 0-cycle irréductible), le corps résiduel   est une extension finie de  . Si   est un 0-cycle, on définit son degré par   C'est un entier qui dépend du corps de base  . L'application degré est un homomorphisme  ℤ.

Théorème —  Soit   une variété algébrique propre (par exemple projectif) sur un corps  . Soit   un 0-cycle principal. Alors il est de degré 0.

Cela veut dire que dans le cas des variétés algébriques propres, l'application degré induit un homomorphisme de groupes  

  • Corollaire. Soit   une courbe projective sur un corps, alors l'application degré induit un homomorphisme de groupes de   dans  .

FonctorialitéModifier

Soit   un morphisme. Soit   un fermé irréductible, de point générique  . On pose

  •   si l'extension   est finie, et   sinon.

Ceci induit un homomorphisme de groupes  . Lorsque   est le spectre d'un corps   et que   est de type fini, pour tout 0-cycle  , on a    est l'unique 0-cycle de Spec k.

CorrespondanceModifier

Références bibliographiquesModifier

William Fulton, Intersection Theory, 2e éd., Springer, 1998

Articles connexesModifier

Conjectures standard sur les cycles algébriques (en)