Espace de Kolmogorov

En topologie et dans d'autres branches des mathématiques, un espace de Kolmogorov (ou espace T₀) est un espace topologique dans lequel tous les points peuvent être « distingués du point de vue topologique ». De tous les axiomes de séparation qui peuvent être demandés à un espace topologique, cette condition est la plus faible.

Les espaces de Kolmogorov doivent leur nom au mathématicien russe Andreï Kolmogorov.

Définition

Un espace topologique X est dit de Kolmogorov si pour tout couple d'éléments distincts x et y de X, il existe un voisinage de x qui ne contient pas y ou un voisinage de y qui ne contient pas x.

De façon équivalente, X est de Kolmogorov si pour tous points distincts, il existe un ouvert qui contient l'un des deux points mais pas l'autre, ou encore, l'un des deux points n'est pas adhérent à l'autre.

On dit aussi d'un tel espace qu'il satisfait à la propriété de séparation T₀.

Exemples

Espaces non T₀

• Un espace muni de la topologie grossière n'est pas T₀, dès qu'il contient plus d'un élément. Plus généralement, la topologie d'Alexandrov d'un préordre n'est pas T₀, sauf si ce préordre est un ordre.
• Un ℝ-espace vectoriel, muni d'une semi-norme qui n'est pas une norme, n'est pas T₀.

Espaces T₀ mais pas T₁

Un espace T₁ est un espace dans lequel pour tous éléments distincts x et y, il existe un voisinage de x qui ne contient pas y et un voisinage de y qui ne contient pas x, ou encore dans lequel tous les singletons sont fermés.

• La topologie droite d'un ordre est T₀. Elle n'est T₁ que si elle est discrète, c'est-à-dire si cet ordre est l'égalité. Par exemple, sur un ensemble pointé (X, p) :
  • la topologie dont les ouverts sont ∅ et les parties contenant p est T₀, mais pas T₁ si X a d'autres éléments que p ({p} n'est alors pas fermé). Si X a deux éléments, il s'agit de l'espace de Sierpiński.
  • de même pour la topologie dont les fermés sont ces mêmes parties ({p} est alors le seul singleton fermé).
• La topologie de Zariski sur un spectre d'anneau commutatif est toujours T₀ mais généralement pas T₁. Les points non fermés correspondent aux idéaux premiers non maximaux. Ils sont importants pour comprendre les schémas.

Indiscernabilité

Dans un espace topologique, deux points sont dits indiscernables s'ils appartiennent exactement aux mêmes ouverts, ou encore s'ils ont exactement les mêmes voisinages. C'est la relation d'équivalence associée au préordre de spécialisation (en) : x ≤ y si et seulement si x appartient à l'adhérence du singleton {y}. Un espace est donc T₀ lorsque les classes d'équivalence sont toutes réduites à des singletons, autrement dit lorsque le préordre est un ordre.

Propriétés

Le quotient d'un espace topologique quelconque par la relation d'équivalence précédente, appelé quotient de Kolmogorov, est toujours un espace de Kolmogorov.

Un produit d'espaces non vides est de Kolmogorov si et seulement si chaque facteur l'est.

Tout sous-espace d'un espace de Kolmogorov est encore de Kolmogorov.

Tout espace de Kolmogorov X est homéomorphe à un sous-espace du produit Q^{C(X, Q)}, où Q est l'intervalle [0, 1] muni de la topologie stricte à gauche et C(X, Q) est l'ensemble des applications continues de X dans Q. Il se plonge aussi naturellement dans le produit S^{C(X, S)} ≃ S^T, où S est la paire {0, 1} munie de la topologie de Sierpiński et C(X, S) est l'ensemble des applications continues de X dans S, équipotent à l'ensemble T des ouverts de X.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kolmogorov space » (voir la liste des auteurs).