La vitesse du son dans un gaz parfait est fonction du coefficient de Laplace (gamma), de la masse volumique ainsi que de la pression du gaz et se calcule théoriquement ainsi :
La célérité du son dans un gaz parfait vaut donc :
moles de gaz parfait de masse molaire ont une masse et occupent un volume sous la pression et à la température . La masse volumique vaut alors . Avec la Constante universelle des gaz parfaits, on définit la constante spécifique du gaz parfait étudié : . On réécrit en conséquence :
La formule (I) montre que la célérité du son dans un gaz parfait est inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse volumique ; la formule (II) montre également qu'elle est indépendante de la pression du gaz et de la fréquence, mais qu'elle est proportionnelle à la racine carrée de la température[2]. L'indépendance de la vitesse du son par rapport à la pression du gaz n'est toutefois vérifiée que pour des pressions voisines de la pression atmosphérique normale (condition d'application de la loi des gaz parfaits).
La constante est une grandeur indépendante de la température. Le coefficient adiabatique dépend peu de la température . Les valeurs du ratio sont approximativement égales à :
Pour l'air, composé principalement de dioxygène et de diazote, gaz diatomiques :
= 287 J kg−1 K−1 ;
= 1,4.
Avec l'équation (II), on obtient la vitesse thérorique du son dans l'air sec assimilé à un gaz parfait en m/s en fonction de la température en kelvins[3],[4] :
Pour l'air sec : selon les auteurs ou[5] ou[6],[7] : (en m·s−1)
Les différences entre auteurs proviennent principalement de la prise en compte de constituants mineurs de l'air, principalement l'argon et le gaz carbonique, et des incertitudes qui affectent les calculs des constantes. L'air n'étant pas un gaz parfait, ces formules ne donnent qu'un résultat approximatif. Des calculs plus raffinés tiennent compte des interactions entre molécules (viriel) et apportent des correctifs. De ce fait, la pression et la fréquence affectent les dernières décimales[8].
Au voisinage de la température ambiante, la célérité du son dans l'air peut être approchée par la linéarisation suivante[9] :
(en m·s−1)
où (thêta) est la température en degrés Celsius (°C) : , la température étant en kelvin (K). On peut simplifier cette formule en[10] : .
La vitesse du son dans l'air augmente faiblement avec l'humidité, la différence pouvant atteindre un peu plus d'un mètre par seconde[11]. L'air est un milieu faiblement dispersif, surtout s'il est humide. La vitesse augmente peu avec la fréquence, l'écart ne dépassant guère 0,1 m/s dans le spectre audible[12], mais peut être sensible pour les ultrasons à haute fréquence.
Relation entre vitesse du son et vitesse des particules
En remplaçant dans l'équation (I) on a par conséquent :
puis en remplaçant la température par la formule de la vitesse quadratique moyenne :
Cette relation indique que dans le domaine des gaz parfaits (c'est-à-dire à des pressions modérées), la vitesse du son est directement proportionnelle à la vitesse des particules.
Dans le cas d'un gaz parfait diatomique comme l'air , on a par conséquent :
La vitesse du son dans un gaz de van der Waals est fonction de deux variables thermodynamiques indépendantes, classiquement la température et le volume molaire :
moles de gaz de masse molaire ont une masse et occupent un volume sous la pression et à la température . La masse volumique vaut alors et le volume molaire. Le coefficient de compressibilité isotherme vaut alors, pour un gaz de van der Waals :
Sans onde de cisaillement, la vitesse du son se propage seulement par compression. Si le son n'est pas trop fort (), la compression et la détente du fluide peuvent être considérées comme étant isentropiques et la vitesse du son est :
Soit un fluide non visqueux, initialement au repos. Les propriétés du milieu en un point situé à une distance de la source de perturbation peuvent s'écrire comme la somme d'une valeur moyenne temporelle (uniforme) et d'une composante instationnaire (de faible amplitude). Ainsi :
Projetée sur l'axe radial, cette équation s'écrit :
En négligeant le terme puisque et en assimilant à sa moyenne temporelle , il vient :
(E2)
Équation d'état
La masse volumique est reliée à la pression par l'équation d'état du fluide , dont la dérivée au premier ordre est exprimée par le coefficient de compressibilité isentropique . On peut donc écrire :
(E3)
Expression du champ de pression
En éliminant de l'équation (E1) grâce à l'équation (E3), nous obtenons :
La dérivation de la première équation par rapport au temps et de la seconde par rapport à donne :
Il s'agit de l'équation de propagation d'une onde sphérique de célérité :
Célérité :
La solution générale du champ de pression est de la forme :
Champ de pression :
Formule de Newton
Dans son Traité de mécanique céleste, Laplace rappelle sa formule publiée en 1816 dans les Annales de Physique et de Chimie[14] :
« La vitesse du son est égale au produit de la vitesse que donne la formule newtonienne, par la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un volume constant. »
La vitesse du son fait intervenir la masse volumique et la compressibilité isentropique du milieu selon l'hypothèse isentropique de Laplace :
Newton avait basé son modèle sur une hypothèse isotherme du son, ce qui le conduisit à une formule équivalente à :
Dans le cas d'un fluide diphasique (bulles d'air dans l'eau liquide par exemple), la vitesse du son se trouve fortement modifiée. Le calcul de la vitesse du son est alors assez complexe et dépend notamment des relations qui unissent les deux fluides (par exemple, dans le cas d'un liquide avec des bulles de vapeur, il faudra prendre en compte les changements de phase).
Néanmoins, un résultat général peut être donné. La vitesse du son dans ce mélange est bien inférieure à la plus petite des deux vitesses dans les milieux séparés. Par exemple, pour un mélange eau/vapeur la vitesse du son est autour de 30 m/s pour un taux de présence de 0,5. Cela s'explique en considérant la masse volumique moyenne du mélange, qui est comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur, et la compressibilité (ou la constante d'élasticité moyenne) qui est elle aussi comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur. En introduisant les bulles de vapeur dans l'eau, on a tout à la fois diminué la masse volumique moyenne du milieu (cette modification, seule, tend à augmenter la vitesse du son) et augmenté sa compressibilité (cette modification, seule, diminue la vitesse du son). Mais on a beaucoup plus augmenté la constante élastique que diminué la masse volumique. C'est pourquoi on a obtenu une vitesse du son plus faible dans ce mélange que dans l'eau pure.
↑(en) Robert N. Compton et Michael A. Duncan, Laser Experiments for Chemistry and Physics, Oxford University Press, , 403 p. (ISBN9780198742975, lire en ligne), p. 124.
↑Techniques de l'Ingénieur, Célérité des ondes sonores et vibratoires, chap. 5 - Mesure de la célérité des ondes sonores et vibratoires, R 3 111 - 2.
↑Claude Lesueur, Acoustique, chap. 1 - Éléments de base en acoustique physiologique et physique, 1997, p. 15.
↑(en) Lloyd Dingle et Mike Tooley, Aircraft Engineering Principles, Routledge, , 656 p. (ISBN9781136430206, lire en ligne), p. 545.
↑(en) Eugene T. Patronis, « 8. Stadiums and outdoor venues », dans Glen Ballou (direction), Handbook for Sound Engineers, New York, Focal Press, , 4e éd., p. 204.
↑Patrice Bourcet et Pierre Liénard, « Acoustique fondamentale », dans Denis Mercier (direction), Le livre des techniques du son, tome 1 - Notions fondamentales, Paris, Eyrolles, (1re éd. 1987), p. 29.
↑Marie-Christine de La Souchère, Les sons en 150 questions, Ellipses, (lire en ligne), p. 10.
↑(en) William M. Haynes, CRC Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press/Taylor and Francis, , 97e éd., 2652 p. (ISBN1498754287, lire en ligne), « Attenuation and Speed of Sound in Air as a Function of Humidity and Frequency », p. 2432 (14-47).