Compressibilité

Compressibilité isotherme
Description de cette image, également commentée ci-après
La compressibilité quantifie l'aptitude d'un corps à se contracter sous l'effet de la pression.
Unités SI Pa-1
Dimension M-1·L·T2
Nature Grandeur scalaire intensive
Symbole usuel , , à constant
Lien à d'autres grandeurs

La compressibilité est une caractéristique d'un corps quantifiant sa variation relative de volume sous l'effet d'une pression appliquée. La compressibilité est une grandeur intensive homogène avec l'inverse d'une pression, elle s'exprime en Pa−1 (Pa étant le pascal).

Cette définition doit être complétée car sous l'effet d'une compression les corps ont tendance à s'échauffer. On définit donc une compressibilité isotherme, pour un corps restant à température constante, et une compressibilité isentropique (ou adiabatique), pour un corps restant à entropie constante. Les deux coefficients ainsi définis sont reliés aux capacités thermiques du corps par la relation de Reech.

Le deuxième principe de la thermodynamique induit que la compressibilité d'un corps stable ne peut être que positive : le volume d'un corps doit diminuer lorsque l'on augmente la pression. Une compressibilité négative ou nulle est difficilement observable car le corps est instable, toutefois la thermodynamique ne l'interdit pas et des cas ont été observés expérimentalement. La compressibilité des gaz est très élevée, elle est faible pour les liquides et très faible pour les solides usuels.

DéfinitionsModifier

Coefficient de compressibilité isothermeModifier

Le coefficient de compressibilité isotherme, que l'on note le plus souvent   (le Green Book de l'UICPA, page 56, préconise la notation  ), est défini par la relation :

Coefficient de compressibilité isotherme :  

ou encore, en fonction de la masse volumique :

 

avec :

Coefficient de compressibilité isentropiqueModifier

Le coefficient de compressibilité isentropique, que l'on note le plus souvent   (le Green Book de l'UICPA, p. 56, préconise la notation  ), est défini par la relation :

Coefficient de compressibilité isentropique :  

avec :

Relations avec les coefficients de compressibilitéModifier

Relations avec la compressibilité isothermeModifier

Puisque l'on a la relation :

 

on a :

 

avec   l'enthalpie libre.

En considérant d'autre part que :

 
 

on a :

 

avec   l'énergie libre.

Le coefficient de compressibilité isotherme entre dans la forme différentielle du volume d'un mélange :

 
 

avec :

  •   le coefficient de dilatation isobare ;
  •   la quantité ou nombre de moles du composant   ;
  •   le volume molaire partiel du composant  .

Si les quantités de matière sont constantes on a :  .

Le coefficient de compressibilité isotherme est également lié au coefficient de compression isochore   par la relation :

 

Le coefficient de compressibilité isotherme est égal à l'inverse du module d'élasticité isostatique du milieu, généralement noté  , aussi appelé module d'incompressibilité :

Module d'élasticité isostatique :  

Le coefficient de compressibilité isotherme entre aussi dans la relation de Mayer générale :

Relation de Mayer générale :  

avec :

Relations avec la compressibilité isentropiqueModifier

Puisque l'on a la relation :

 

on a :

 

avec   l'enthalpie.

En considérant d'autre part que :

 
 

on a :

 

avec   l'énergie interne.

Le coefficient de compressibilité isentropique entre dans la forme différentielle du volume d'un mélange à composition constante :

 
  (à composition constante)

avec   l'un des coefficients calorimétriques (sans nom).

Ce coefficient entre dans l'expression de la vitesse du son   dans un fluide :

Vitesse du son :  

avec   la masse volumique du fluide.

Stabilité thermodynamiqueModifier

Soit un système thermodynamique soumis au travail d'une pression extérieure   constante. On suppose le système et le milieu extérieur à l'équilibre thermique permanent (même température) et que cette température   est constante. La variation de l'énergie interne   du système vaut :

 
 

À température   constante, on a, en introduisant l'énergie libre   :

 

La pression extérieure   étant constante, on a :

 

Le deuxième principe de la thermodynamique implique que le terme  , ou chaleur non compensée de Clausius, ne peut être que positif ou nul et par conséquent :

 

À température   constante, lorsque le corps est soumis à une pression extérieure   constante, la fonction   ne peut donc que décroitre. Ceci implique qu'à l'équilibre stable cette fonction atteint un minimum. La fonction   ayant pour variables naturelles le volume   et la température  , la fonction  , à température   constante, a pour seule variable naturelle  . Pour que l'équilibre soit stable, la fonction doit donc répondre à :

  (condition d'équilibre)
  (condition de stabilité : la fonction est à un minimum)

La dérivée seconde doit être positive strictement. Si la dérivée seconde est nulle, l'équilibre est métastable, mathématiquement il s'agit d'un point d'inflexion de la fonction ; si elle est négative, l'équilibre est instable, il s'agit d'un maximum de la fonction.

Si l'on considère la dérivée partielle de l'énergie libre :

 

on a à l'équilibre stable :

 
 

On en déduit qu'un corps à l'équilibre ne peut être stable qu'à la pression   et que si sa compressibilité est positive strictement[1] :

Condition de stabilité :  

Autrement dit un corps ne peut être stable que si son volume diminue lorsque la pression augmente.

Un raisonnement identique à entropie   constante (soit  ) au lieu de température   constante, en utilisant l'énergie interne   à la place de l'énergie libre   conduit à la condition de stabilité[1] :

Condition de stabilité :  

La thermodynamique n'interdit pas que le volume d'un corps puisse augmenter avec une augmentation de pression, et donc que sa compressibilité soit négative. Toutefois un tel corps est instable et par conséquent difficilement observable. Des compressibilités négatives ont été observées sur des mousses métalliques et des cristaux composés d'eau et de méthanol, ces phénomènes étant expliqués par l'architecture des cristaux à l'échelle moléculaire[2],[3],[4].

Relation de ReechModifier

La relation de Reech relie le rapport des capacités thermiques au rapport des coefficients de compressibilité :

Relation de Reech :  

avec :

Puisque  , la relation de Mayer   montre que  . Par conséquent la relation de Reech montre que :

Relation entre coefficients de compressibilité :  

Cas d'un gaz parfaitModifier

Dans le cas d'un gaz parfait, on applique l'équation :

 

avec :

En fixant   et  ,   devient constant. En différentiant cette constante comme un produit, on obtient :

 
 

soit encore :

 

et enfin :

 

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. a et b Olivier Bonnefoy, École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, « Thermodynamique » [PDF] (consulté le 26 mai 2020), p. 49.
  2. Compressibilité négative, A. Fortes et al., revue La Recherche, mensuel N°451, avril 2011.
  3. Un matériau aux propriétés contre-intuitives, Maurice Mashaal, revue Pour la science, 25/02/2011.
  4. Compressibilité linéaire négative géante dans le dicyanoaurate de zinc, site du CNRS - Institut de chimie, 20 février 2013.

BibliographieModifier

  • Thermodynamique des matériaux (TM Volume 5) - De l'élaboration des matériaux à la genèse des microstructures, Gérard Lesoult, Presses Polytechniques Universitaires Romandes (PPUR) - Collection : Traité des Matériaux, 2010, (ISBN 978-2-88-074-690-2), paragraphe 3.6.3 (lire en ligne).

Articles connexesModifier