Les lois de conservation
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On s'intéresse ici aux lois de conservation , leur forme générale est la suivante:
{
∂
ρ
∂
t
+
d
i
v
J
=
g
,
∀
(
x
,
t
)
∈
Ω
×
R
+
⊕
Conditions initiales
⊕
Conditions au bord
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+divJ=g,\qquad \forall (x,t)\in \Omega \times \mathbb {R} _{+}\\\oplus \;{\text{Conditions initiales}}\\\oplus \;{\text{Conditions au bord}}\end{array}}\right.}
ρ
{\displaystyle \rho }
densité ) est l'inconnue
J
{\displaystyle J}
flux associé
g
{\displaystyle g}
Ω
⊂
R
d
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}
De plus,
J
{\displaystyle J}
J
=
F
(
x
,
t
,
ρ
,
∇
ρ
)
{\displaystyle J=F(x,t,\rho ,\nabla \rho )}
Quelques exemples de flux
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Le flux de convection / transport :
J
=
v
(
x
,
t
)
f
(
ρ
)
{\displaystyle J=v(x,t)f(\rho )\;}
v
(
x
,
t
)
∈
R
d
{\displaystyle v(x,t)\in \mathbb {R} ^{d}}
f
:
R
⟶
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }
Le flux de diffusion :
J
=
−
κ
(
x
,
t
)
∇
ρ
{\displaystyle J=-\kappa (x,t)\nabla \rho \;}
κ
(
x
,
t
)
∈
R
{\displaystyle \kappa (x,t)\in \mathbb {R} }
κ
(
x
,
t
)
∈
M
d
(
R
)
{\displaystyle \kappa (x,t)\in {\mathcal {M}}_{d}(\mathbb {R} )}
Le flux de convection et diffusion :
J
=
v
(
x
,
t
)
f
(
ρ
)
−
κ
(
x
,
t
)
∇
ρ
{\displaystyle J=v(x,t)f(\rho )-\kappa (x,t)\nabla \rho \;}
Maillage du domaine
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Soit
Ω
{\displaystyle \Omega }
EDP qui nous intéresse.
Volumes de contrôle
On appelle volumes de contrôle les éléments de la suite
(
K
i
)
1
⩽
i
⩽
I
{\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}
K
i
{\displaystyle K_{i}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
K
i
∩
K
j
=
∅
,
∀
i
≠
j
{\displaystyle K_{i}\cap K_{j}=\varnothing ,\;\forall i\neq j}
∪
i
=
1
I
K
i
¯
=
Ω
¯
{\displaystyle \cup _{i=1}^{I}{\overline {K_{i}}}={\overline {\Omega }}}
Maillage d'un segment [A,B] pour la méthode des volumes finis. Soit
Ω
=
]
0
,
1
[
{\displaystyle \Omega =]0,1[}
Les volumes de contrôle
(
K
i
)
1
⩽
i
⩽
I
{\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}
maillage
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
intervalles ouverts, on note
K
i
=
]
x
i
−
1
2
,
x
i
+
1
2
[
{\displaystyle K_{i}=]x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}[}
On note
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
(
x
i
+
1
2
)
0
⩽
i
⩽
I
{\displaystyle \left(x_{i+{\frac {1}{2}}}\right)_{0\leqslant i\leqslant I}}
Pour finir, on choisit un point
x
i
{\displaystyle x_{i}}
K
i
{\displaystyle K_{i}}
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
(
x
i
)
1
⩽
i
⩽
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
x
I
+
1
=
1
{\displaystyle x_{I+1}=1}
Le maillage est donc la donnée
(
T
,
E
,
P
)
{\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}
Le pas (taille) du maillage est toujours important dans un schéma numérique, il sera noté
h
{\displaystyle h}
h
=
max
1
⩽
i
⩽
I
(
x
i
+
1
2
−
x
i
−
1
2
)
{\displaystyle h=\max _{1\leqslant i\leqslant I}(x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}})}
Dimension d
⩾
2
{\displaystyle \geqslant 2}
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Exemple d'un maillage triangulaire 2D. On considère
Ω
{\displaystyle \Omega }
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
d
=
2
{\displaystyle d=2}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
(
K
i
)
1
⩽
i
⩽
I
{\displaystyle \left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
σ
∈
E
{\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}}
soit
σ
¯
=
K
i
¯
∩
K
j
¯
,
i
≠
j
{\displaystyle {\overline {\sigma }}={\overline {K_{i}}}\cap {\overline {K_{j}}},\;i\neq j}
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
∈
E
i
n
t
{\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}_{int}}
soit
σ
¯
⊂
∂
Ω
{\displaystyle {\overline {\sigma }}\subset \partial \Omega }
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
∈
E
e
x
t
{\displaystyle \sigma \in {\mathcal {E}}_{ext}}
On se donne de même que précédemment, une suite de points
P
=
(
x
i
)
1
⩽
i
⩽
I
,
où
x
i
∈
K
i
{\displaystyle {\mathcal {P}}=(x_{i})_{1\leqslant i\leqslant I},\;{\text{où}}\;x_{i}\in K_{i}}
Le maillage de
Ω
{\displaystyle \Omega }
(
T
,
E
,
P
)
{\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}
On pose ici, pour le pas,
h
=
max
1
⩽
i
⩽
I
d
i
a
m
(
K
i
)
{\displaystyle h=\max _{1\leqslant i\leqslant I}diam(K_{i})}
Solution approchée
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Pour la méthode des volumes finis, et contrairement à la méthode des différences finies , les inconnues discrètes ne sont pas les extrémités des mailles, mais les inconnues sont situées à l'intérieur des mailles.
L'ensemble de ces inconnues discrètes est l'ensemble
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
La solution approchée
u
T
{\displaystyle u_{\mathcal {T}}}
u
T
(
x
)
=
∑
K
u
K
1
1
K
(
x
)
{\displaystyle u_{\mathcal {T}}(x)=\sum _{K}u_{K}1\!\!1_{K}(x)}
L'espace des solutions approchées pour le maillage
(
T
,
E
,
P
)
{\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})}
X
(
T
)
=
{
u
T
(
x
)
=
∑
K
u
K
1
1
K
(
x
)
,
∀
K
∈
T
u
K
∈
R
}
{\displaystyle X({\mathcal {T}})=\left\{u_{\mathcal {T}}(x)=\sum _{K}u_{K}1\!\!1_{K}(x),\forall K\in {\mathcal {T}}u_{K}\in \mathbb {R} \right\}}
Remarque
X
(
T
)
⊂
L
∞
(
Ω
)
,
(
⊂
L
p
,
∀
p
⩾
1
si
Ω
est borné
)
{\displaystyle X({\mathcal {T}})\subset \mathrm {L} ^{\infty }(\Omega ),(\subset \mathrm {L} ^{p},\;\forall p\geqslant 1\;{\text{si}}\;\Omega \;{\text{est borné}})}
X
(
T
)
⊄
H
1
{\displaystyle X({\mathcal {T}})\not \subset \mathrm {H} ^{1}}
Mise en place du schéma
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Normale sortante à K en sigma Le méthode des volumes finis est utilisée pour discrétiser la partie spatiale des lois de conservation, le partie temporelle est quant-à-elle discrétisée par la méthode des différences finies . On considère donc ici seulement la partie spatiale, ce qui nous donne le système suivant :
{
d
i
v
(
J
)
=
g
sur
Ω
,
J
=
F
(
x
,
t
,
u
,
∇
u
)
⊕
Conditions Limites
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}div(J)=g\quad {\text{sur}}\;\Omega ,\\J=F(x,t,u,\nabla u)\\\oplus \;{\text{Conditions Limites}}\end{array}}\right.}
On considère un maillage
(
T
,
E
,
P
)
de
Ω
{\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})\;{\text{de}}\;\Omega }
La méthode des volumes finis est basée sur l' intégration de l'EDP sur tous les volumes de contrôle du maillage.
On a,
∀
K
∈
T
{\displaystyle \forall K\in {\mathcal {T}}}
∫
K
d
i
v
(
J
)
=
∫
K
g
(
x
)
d
x
⟺
Stokes
∫
∂
K
J
⋅
n
K
d
γ
=
∫
K
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{array}{rl}&\int _{K}div(J)=\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x\\{\overset {\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow }}&\int _{\partial K}J\cdot n_{K}\,\mathrm {d} \gamma =\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x\\\end{array}}}
On sait que :
∂
K
=
∪
σ
∈
E
K
σ
,
où
E
K
{\displaystyle \partial K=\cup _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}\sigma ,\;{\text{où}}\;{\mathcal {E}}_{K}}
K
{\displaystyle K}
⟺
∑
σ
∈
E
K
∫
σ
J
⋅
n
K
,
σ
d
γ
=
∫
K
g
(
x
)
d
x
,
où
n
K
,
σ
est la normale à
σ
extérieur à
K
{\displaystyle \Longleftrightarrow \sum _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma =\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x,\qquad {\text{où}}\;n_{K,\sigma }\;{\text{est la normale à}}\;\sigma \;{\text{extérieur à}}\;K}
∑
σ
∈
E
K
F
K
,
σ
=
m
e
s
(
K
)
g
K
,
avec :
{\displaystyle \sum _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}{\mathcal {F}}_{K,\sigma }=mes(K)g_{K},\;{\text{avec :}}}
F
K
,
σ
une approximation de
∫
σ
J
⋅
n
K
,
σ
d
γ
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{K,\sigma }\;{\text{une approximation de}}\;\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma }
g
K
une approximation de
1
m
e
s
(
K
)
∫
K
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle g_{K}\;{\text{une approximation de}}\;{\frac {1}{mes(K)}}\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x}
Propriété des flux numériques
modifier
Les deux propriétés essentielles du flux numérique
F
K
,
σ
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{K,\sigma }}
∫
σ
J
⋅
n
K
,
σ
d
γ
{\displaystyle \int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma }
Conservativité des flux
modifier
On impose que pour toute interface interne, le flux entrant est égal à l'opposé du flux sortant :
∀
σ
∈
E
i
n
t
,
σ
=
K
¯
∩
L
¯
,
F
K
,
σ
+
F
L
,
σ
=
0
{\displaystyle \forall \sigma \in {\mathcal {E}}_{int},\sigma ={\overline {K}}\cap {\overline {L}},\qquad {\mathcal {F}}_{K,\sigma }+{\mathcal {F}}_{L,\sigma }=0}
Consistance des flux
modifier
Les flux numériques
F
K
,
σ
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{K,\sigma }}
(
u
L
)
L
∈
T
{\displaystyle (u_{L})_{L\in {\mathcal {T}}}}
u
K
,
u
L
par
u
(
x
K
)
,
u
(
x
L
)
{\displaystyle u_{K},\,u_{L}\;{\text{par}}\;u(x_{K}),\,u(x_{L})}
F
~
K
,
σ
e
x
{\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{K,\sigma }^{ex}}
Pour qu'on ait la consistance des flux, il suffit que :
lim
h
→
0
|
1
m
(
σ
)
F
~
K
,
σ
e
x
−
1
m
(
σ
)
∫
σ
J
⋅
n
K
,
σ
d
γ
|
=
0
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left|{\frac {1}{m(\sigma )}}{\tilde {\mathcal {F}}}_{K,\sigma }^{ex}-{\frac {1}{m(\sigma )}}\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma \right|=0}
Exemple en dimension 1
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On cherche une solution classique du problème de Dirichlet suivant :
(
P
)
{
−
u
″
(
x
)
=
f
(
x
)
,
sur
(
0
,
1
)
u
(
0
)
=
0
=
u
(
1
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}})\left\{{\begin{array}{l}-u''(x)=f(x),\quad {\text{sur}}\;(0,1)\\u(0)=0=u(1)\end{array}}\right.}
où
f
∈
C
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}
On utilise le maillage pour la dimension 1 défini précédemment.
On aura besoin également des paramètres suivants :
h
i
=
m
(
K
i
)
=
x
i
+
1
2
−
x
i
−
1
2
et
h
i
+
1
2
=
x
i
+
1
−
x
i
,
∀
0
⩽
i
⩽
I
{\displaystyle h_{i}=m(K_{i})=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}\;{\text{et}}\;h_{i+{\frac {1}{2}}}=x_{i+1}-x_{i},\quad \forall \,0\leqslant i\leqslant I}
En intégrant l'équation
−
u
″
=
f
sur
K
i
{\displaystyle -u''=f\;{\text{sur}}\;K_{i}}
−
u
′
(
x
i
+
1
2
)
+
u
′
(
x
i
−
1
2
)
=
∫
x
i
−
1
2
x
i
+
1
2
f
{\displaystyle -u'(x_{i+{\frac {1}{2}}})+u'(x_{i-{\frac {1}{2}}})=\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}f}
Le schéma volumes finis s'écrit alors :
(
S
)
{
F
i
+
1
2
−
F
i
−
1
2
=
h
i
f
i
,
∀
1
⩽
i
⩽
I
F
i
+
1
2
=
−
u
i
+
1
−
u
i
h
i
+
1
2
,
∀
0
⩽
i
⩽
I
u
0
=
0
=
u
I
+
1
{\displaystyle ({\mathcal {S}})\left\{{\begin{array}{l}{\mathcal {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}-{\mathcal {F}}_{i-{\frac {1}{2}}}=h_{i}f_{i},\quad \forall \,1\leqslant i\leqslant I\\{\mathcal {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}=-{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{h_{i+{\frac {1}{2}}}}},\quad \forall \,0\leqslant i\leqslant I\\u_{0}=0=u_{I+1}\end{array}}\right.}
f
i
=
h
i
+
1
2
∫
x
i
−
1
2
x
i
+
1
2
f
{\displaystyle f_{i}=h_{i+{\frac {1}{2}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}f}
Proposition — On a alors un schéma numérique
(
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {S}})}
conservatifs et consistants
Preuve
Conservativité : triviale
Consistance : Définition + formules de
Taylor-Lagrange
Ce schéma numérique
(
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {S}})}
équations linéaires :
I inconnues :
(
u
i
)
1
⩽
i
⩽
I
{\displaystyle (u_{i})_{1\leqslant i\leqslant I}}
I équations On peut facilement mettre ce système sous forme matricielle :
A
U
=
B
,
U
{\displaystyle AU=B,\;U}
Proposition — La matrice
A
{\displaystyle A}
(
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {S}})}
tridiagonale et symétrique définie positive .
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
inversible et donc le schéma admet une unique solution
Attention
La consistance, la conservativité et l'unicité de la solution du schéma n'impliquent pas la convergence du schéma Remarque
il existe des théorèmes de convergence du schéma si
f
∈
C
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}
f
∈
L
2
(
0
,
1
)
{\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{2}(0,1)}
R. Eymard, T. Gallouët, R. Herbin (2000) "The finite volume method" Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.D. Serre (1996) "Systèmes de lois de conservation,Tome1". I,Fondations . Editors: Diderot. 
![{\displaystyle \Omega =]0,1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ec0591541e28625a86155c361d57eb8984dd4d)
![{\displaystyle K_{i}=]x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130b2e7203ca5209cd292f559a78e314cb03321e)
![{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48cdf83cec98af5bdbe9532c4eb25ea086918c3)
