Utilisateur:Fatiha Bekkouche/Brouillon

En analyse mathématique, les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels particulièrement adaptés à la résolution des problèmes d'équation aux dérivées partielles. Ils doivent leur nom au mathématicien russe Sergueï Lvovitch Sobolev.

Introduction

Il existe de nombreux critères pour évaluer la régularité d'une fonction. Le critère le plus élémentaire est celui de la continuité. Une notion plus forte de régularité est la différentiabilité. En effet, les fonctions différentiables sont également continues. Enfin, un critère encore plus fort de régularité est la continuité des dérivées partielles (de telles fonctions sont dites de classe C¹). Les fonctions différentiables sont importantes dans beaucoup de domaines, en particulier pour les équations différentielles (cas d'une seule variable) ou les équations aux dérivées partielles (cas de plusieurs variables). Cependant, au cours du XX^e siècle, les mathématiciens se sont rendu compte que l'espace C¹ (ou C², etc.) n'était pas le cadre approprié pour étudier les solutions des équations aux dérivées partielles. Les espaces de Sobolev se sont imposés comme l'outil moderne fournissant le cadre adéquat pour la recherche de solutions d'équations aux dérivées partielles.

Définition des espaces de Sobolev

Définitions

Soient Ω un ouvert quelconque de ℝⁿ, pour tout α € ℝ et m un entier nature, posons

$k=k(m,n,p,\alpha )={\begin{cases}-1&{\text{si }}{\frac {n}{p}}+\alpha \in \{1,...,m\},\\m-{\frac {n}{p}}-\alpha &{\text{si }}{\frac {n}{p}}\in \{1,...m\},\end{cases}}$

On définit la famille d'espaces avec poids:

$W_{\alpha }^{m,p}(\Omega )=\{u\in D'(\Omega ),\forall \lambda \in \mathbb {N} ^{n},0\leq |\lambda |\leq k,\rho ^{\alpha -m+|\lambda |}(\ln(1+\rho ))\partial ^{\lambda }u\in L^{p}(\Omega ),~|~\forall \alpha {\text{ tel que }}|\alpha |\leq m,~D^{\alpha }u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega )\}$

où α est un multi-indice, D^αu est une dérivée partielle de u au sens faible (au sens des distributions) et L^p désigne un espace de Lebesgue.

On munit cet espace vectoriel W^m,p de la norme suivante :

Dans le cas p = 2, les espaces de Sobolev ont un intérêt particulier car il s'agit alors d'espaces de Hilbert. Leur norme est induite par le produit intérieur suivant :

$\left(u,v\right)_{m}=\sum \limits _{0\leq |\alpha |\leq m}\left(D^{\alpha }u,D^{\alpha }v\right),$

où$\left(u,v\right)=\int _{\Omega }u(x){\overline {v(x)}}~\mathrm {d} x$ est le produit intérieur dans L²(Ω), produit scalaire dans le cas réel, hermitien dans le cas complexe. Dans ce cas, pour désigner l'espace de Sobolev, on utilise une notation spéciale :

$H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega ).$

De plus, dans le cas où la transformation de Fourier peut être définie dans L²(Ω), l'espace H^m(Ω) peut être défini de façon naturelle à partir de la transformée de Fourier.

• Par exemple si Ω = ℝⁿ, grâce à l'identité de Parseval, on vérifie aisément que si $\scriptstyle {\widehat {u}}$ est la transformée de Fourier de u :$H^{m}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\lbrace u\in \mathrm {L} ^{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)~\left|~\int _{\mathbb {R} ^{n}}|{\hat {u}}(\xi )|\xi |^{\alpha }|^{2}\mathrm {d} \xi \;<\infty {\text{ pour }}|\alpha |\leq m\right.\right\rbrace$ou ce qui est équivalent :$H^{m}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\lbrace u\in \mathrm {L} ^{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)~\left|~\int _{\mathbb {R} ^{n}}|{\hat {u}}(\xi )|^{2}\left(1+|\xi |^{2}\right)^{m}\mathrm {d} \xi \;<\infty \right.\right\rbrace$et que$\left(u,v\right)_{m}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}\left(\xi \right){\overline {{\hat {v}}(\xi )}}\left(1+|\xi |^{2}\right)^{m}\mathrm {d} \xi$est un produit hermitien équivalent à celui défini plus haut.
• Ou encore si Ω = ]0, 1[, on vérifie que :$H^{m}(\left]0,1\right[)=\left\{u\in \mathrm {L} ^{2}(]0,1[)~\left|~\sum _{n\in \mathbb {Z} }(1+n^{2})^{m}|{\widehat {u}}_{n}|^{2}<\infty \right.\right\}$où $\scriptstyle {\widehat {u}}_{n}$ est la série de Fourier de u. Là encore, le résultat se déduit aisément de l'identité de Parseval et du fait que la dérivation revient à multiplier le coefficient de Fourier par in. On voit qu'une fonction de H^m(Ω) est caractérisée par une décroissance suffisamment rapide de ses coefficients de Fourier.

Espace de Sobolev d'ordre fractionnaire

L'habitude est prise, pour plus de clarté, de différencier la notation de l'ordre d'un espace de Sobolev selon qu'il est entier ou non. Alors que dans le cas entier on note souvent l'ordre avec la lettre m, dans le cas non entier, on utilisera la lettre s et donc les espaces seront notés W^s,p ou, pour p = 2, H^s.

Définition par la méthode d'interpolation complexe

Une première approche pour définir les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire consiste à utiliser la méthode d'interpolation complexe. (Ci-dessous une autre méthode, dite d'interpolation réelle sera utilisée pour la caractérisation des traces des espaces de Sobolev.) L'interpolation complexe est une technique générale qui permet, à partir de deux espaces de Banach, d'en construire un troisième par interpolation. Plus précisément, soient deux espaces de Banach X et Y qui sont tous les deux inclus par injection continue dans un autre espace de Banach, alors, pour tout t tel que 0 ≤ t ≤ 1, on peut construire un espace interpolé noté : [X,Y]_t. (Les espaces X et Y forment la « paire d'interpolation ».)

Pour s non entier, compris entre deux entiers l et m, l < s < m, on définit l'espace de Sobolev

$W^{s,p}=\left[W^{l,p},W^{m,p}\right]_{\frac {s-l}{m-l}}.$

Nous devons vérifier que cette définition est cohérente, ce qui est assuré par le résultat suivant :

Théorème — $\left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_{t}=W^{n,p}$ si n est un entier tel que n = tm.