Théorème de plongement de Mitchell

Le théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories. Ce théorème est attribué aux mathématiciens Barry Mitchell et Peter Freyd.

Principe

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Précisément, le théorème s'énonce ainsi : pour A une petite catégorie abélienne, il existe un anneau R, unitaire et non commutatif en général, ainsi qu'un foncteur F: A → R-Mod, plein, fidèle et exact, de la catégorie A dans la catégorie des R-modules à gauche.

Ce foncteur F établit une équivalence entre A et une sous catégorie pleine de R-Mod compatible avec les notions de noyaux et conoyaux et donc compatible avec la notion de suite exacte. Cependant, ce foncteur ne conserve pas les propriétés d'un objet de A d'être projectif ou injectif (un module sur un anneau est toujours injectif et projectif sur la catégorie constituée par lui-même et 0 et comme seuls morphismes 0, et les multiples de l'identité).

Aperçu de la preuve

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Soit   la catégorie des foncteurs exacts à gauche de la catégorie abélienne   vers la catégorie des groupes abéliens  . On construit un plongement contravariant   tel que   pour tout  , où   est le foncteur Hom covariant tel que  . Le lemme de Yoneda nous donne la nature pleine et fidèle de  . On a directement l'exactitude à gauche de   car   est déjà exact à gauche. La preuve de l'exactitude à droite de   est plus dure, on peut la retrouver dans les Lecture Notes in Mathematics 76 de R. G. Swan.

On prouve ensuite que   est une catégorie abélienne en utilisant la théorie de la localisation (de Swan). C'est la partie difficile de la preuve.

Il est facile de vérifier que la catégorie abélienne   est une catégorie AB5 avec un générateur  . C'est en fait une catégorie de Grothendieck qui admet donc un cogénérateur  .

L'anneau des endomorphismes   est celui dont on a besoin pour la catégorie des R-modules.

Avec  , on a un autre plongement contravariant, exact et pleinement fidèle, en posant   Le produit   est le plongement covariant exact que l'on recherche, il est pleinement fidèle.

A noter que la preuve du théorème de Gabriel–Quillen , pour les catégories exactes, est presque identique.

Références

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  • (en) R. G. Swan, Lecture Notes in Mathematics 76, Springer,
  • (en) Peter Freyd, Abelian categories, Harper and Row,
  • (en) Barry Mitchell, The full imbedding theorem, The Johns Hopkins University Press,
  • (en) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics,