Théorème de plongement de Mitchell

Le théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories.

Précisément, le théorème s'énonce ainsi : pour A une petite catégorie abélienne, il existe un anneau R, unitaire et non commutatif en général, ainsi qu'un foncteur F: A → R-Mod, plein, fidèle et exact, de la catégorie A dans la catégorie des R-modules à gauche.

Ce foncteur F établit une équivalence entre A et une sous catégorie pleine de R-Mod compatible avec les notions de noyaux et conoyaux et donc compatible avec la notion de suite exacte. Cependant, ce foncteur ne conserve pas les propriétés d'un objet de A d'être projectif ou injectif (un module sur un anneau est toujours injectif et projectif sur la catégorie constituée par lui-même et 0 et comme seuls morphismes 0, et les multiples de l'identité).

RéférencesModifier

  • (en) R. G. Swan, Lecture Notes in Mathematics 76, Springer,
  • (en) Peter Freyd, Abelian categories, Harper and Row,
  • (en) Barry Mitchell, The full imbedding theorem, The Johns Hopkins University Press,
  • (en) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics,