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Une superalgèbre de Lie est une extension de la notion d'algèbre de Lie par l'ajout d'une 2-graduation. Cette graduation sépare la superalgèbre en la somme directe d'une partie paire et d'une partie impaire. Cette structure est utilisée en physique théorique pour décrire la supersymétrie. Les éléments de l'algèbre peuvent y être représentés par des opérateurs différentiels. Dans la plupart de ces théories, les éléments pairs correspondent aux bosons et les éléments impairs aux fermions.

DéfinitionModifier

Une superalgèbre de Lie   est une superalgèbre non associative sur un anneau K (habituellement R ou C).

  •   correspond à la partie paire de la superalgèbre et   à la partie impaire. Les éléments de   sont dits homogènes de degré  . À l'inverse, les éléments qui sont composés d'une partie paire et d'une partie impaire sont dits non homogènes. Ainsi, on définit l'opération   tel que   pour noter le degré d'un élément homogène.
  • Le produit interne bilinéaire d'une superalgèbre de Lie est noté   et nommé super-crochet de Lie ou super-commutateur. Il doit respecter les deux conditions suivantes :
    • Super anti-symétrie:
       
    • Super-relation de Jacobi
       

PropriétésModifier

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ExemplesModifier

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Soient  ,   et   tels que :

  •  
  •  
  •  

Alors l'ensemble  , muni du super-crochet de Lie défini par sa bilinéarité et par les produits de  ,   et  , forme la superalgèbre de Lie  .

Notes et référencesModifier

NotesModifier

RéférencesModifier


Voir aussiModifier