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Série des inverses des nombres premiers

série divergente

En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général 1/pi, où désigne le -ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant : Leonhard Euler a démontré en 1737[1] que

,

ce qui renforce à la fois le théorème d'Euclide sur les nombres premiers et celui d'Oresme sur la série harmonique.

Sommaire

Preuve par l'analyseModifier

La preuve suivante est due à Paul Erdős[2].

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel   tel que :

 

Définissons   comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à   et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les   premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme    est entier sans facteur carré.

Puisque seulement les   premiers nombres premiers peuvent diviser  , il y a au plus   choix pour  . Conjointement avec le fait qu'il y a au plus   valeurs possibles pour  , cela nous donne :

 

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à   et divisibles par un nombre premier différent des   premiers est égal à  .

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à   et divisibles par   est au plus  , nous obtenons :

 

ou encore

 

Mais cela est impossible pour tout   strictement supérieur à  , d'où une contradiction.

En affinant cette preuve par l'absurde, on peut même la transformer en une minoration explicite des sommes partielles de la série[3] :

  donc
 [4],

ce qui confirme une partie[5] de l'intuition d'Euler :

« La somme de la série des inverses des nombres premiers […] est infiniment grande ; mais infiniment moins que la somme de la série harmonique […]. De plus, la première est comme le logarithme de la seconde[6]. »

Preuve par un produit eulérienModifier

Connaissant l'équivalent

  quand  ,

il suffit de montrer la divergence de la série de terme général  , ou encore de son exponentielle, le produit (a posteriori infini) des  . Or

 

(pour les égalités (1) et (2), voir l'article « Produit eulérien »).

Prenant les logarithmes des équivalents, on en déduit à nouveau que  . On pourrait penser que cela implique que   et donc que  , mais il est en fait impossible de rendre rigoureuse cette démonstration du théorème des nombres premiers[7].

Développement asymptotiqueModifier

Soit   un réel positif. Le développement asymptotique à deux termes de la série des inverses des nombres premiers est[8]:

   est la constante de Meissel-Mertens[a] et   la constante d'Euler.

AnnexesModifier

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. La série servant à définir   est bien convergente, car par un calcul de développement limité on a pour tout entier positif   :  , qui est le terme général d'une série convergente.

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Divergence of the sum of the reciprocals of the primes » (voir la liste des auteurs).
  1. (la) « Variae observationes circa series infinitas » (E 072).
  2. (de) Paul Erdős, « Über die Reihe Σ 1/p », Mathematica (Zutphen B), no 7,‎ , p. 1-2 (lire en ligne) ; elle est reproduite au premier chapitre de Raisonnements divins.
  3. Gérald Tenenbaum et Michel Mendès France, Les nombres premiers, entre l'ordre et le chaos, Dunod, (1re éd. 2011) (lire en ligne), p. 22-23.
  4. On a majoré   par 2 via une somme télescopique (ou une comparaison série-intégrale), mais on peut aussi utiliser sa valeur exacte : π2/6.
  5. Voir « Constante d'Euler-Mascheroni » et « Constante de Meissel-Mertens ».
  6. E 072, th. 19.
  7. Une analyse de cet argument et d'autres arguments heuristiques analogues est faite dans cette discussion (en) sur MathOverflow, et dans cette entrée (en) du blog de Terence Tao.
  8. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 22 (« La suite des nombres premiers (3) »), sections 22.7 et 22.8.

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?, sur le site Prime Pages de Chris Caldwell