Série de Kempner

La série de Kempner est une série obtenue à partir de la série harmonique en excluant tous les termes dont le dénominateur, exprimé en base dix, contient le chiffre 9. La somme des termes de cette série s'écrit :

où le prime dans signifie que n ne prend que les valeurs dont le développement décimal ne contient pas de 9.

Son intérêt réside dans le fait que contrairement à la série harmonique, elle converge. Ce résultat fut démontré en 1914 par Aubrey J. Kempner (en)[1].

DémonstrationModifier

La preuve est élémentaire : les entiers à n chiffres ne contenant pas de 9 ont un premier chiffre compris entre 1 et 8 et les n − 1 suivants entre 0 et 8 ; il y en a donc 8(9n−1), et chacun d'eux est minoré par 10n−1, donc la série de Kempner est majorée par la série géométrique

 .

Sa somme exacte vaut 22,92067... , voir la suite A082839 de l'OEIS.

GénéralisationModifier

La preuve de convergence est la même en remplaçant 9 par tout autre chiffre et la base dix par toute autre base, et la généralisation à toute séquence finie de chiffres de longueur autre que 1 s'en déduit facilement[2].

Ainsi, si par exemple on omet le chiffre 0, on obtient la borne supérieure

 ,

et une convergence vers 23,10344...[3],[4], voir la suite A082839 de l'OEIS.

Lien avec la densité logarithmiqueModifier

Ce résultat entraine que tous ces ensembles d'entiers naturels   dont l'écriture en base b ne comporte pas la séquence s ont une densité logarithmique   nulle.

Vitesse de convergenceModifier

Cette série converge extrêmement lentement.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kempner series » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) A. J. Kempner, « A Curious Convergent Series », Amer. Math. Monthly, vol. 21, no 2,‎ , p. 48-50 (JSTOR 2972074).
  2. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5e éd. (1re éd. 1938) [détail des éditions], chapitre 9 (« L'écriture décimale des nombres »), théorèmes 143 et 144.
  3. F. Le Lionnais, Les Nombres Remarquables, p. 81.
  4. (en) R. P. Boas, Jr. et J. W. Wrench, Jr, « Partial Sums of the Harmonic Series », The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 8,‎ , p. 864-870 (lire en ligne)

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Kempner Series », sur MathWorld

BibliographieModifier