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Convergence absolue

Convergence de la série des valeurs absolues d'une suite, s'il y a convergence
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En mathématiques, une série numérique réelle ou complexe converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach.

Dans tous ces contextes, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série elle-même.

Par analogie, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L1).

La convergence absolue des séries ou des intégrales est étroitement liée à la sommabilité (des familles ou des fonctions) : elle implique des propriétés plus fortes que la simple convergence.

Sommaire

Série numérique absolument convergenteModifier

Une série à termes réels ou complexes   converge absolument quand la série de terme général   converge. Dans ce cas, la série   converge elle aussi et l'inégalité triangulaire se généralise en

 

Si la série est convergente, mais non absolument convergente, elle est dite semi-convergente.

Exemple
La série harmonique alternée   est semi-convergente.

Comportement des séries à termes réelsModifier

Dans le cas où on a affaire à une série de réels, le théorème précédent possède une démonstration élémentaire, qui apporte des informations supplémentaires sur les comportements possibles.

Si les termes   de la série sont des réels, on peut séparer les termes positifs et négatifs. Il faut considérer pour cela les termes   partie positive et   partie négative du terme  

 

Ces deux termes sont positifs, l'un est nul, et l'autre égal à la valeur absolue de  . De sorte que

 

Les séries   et   étant à termes positifs, leurs suites des sommes partielles sont croissantes ; elles convergent ou bien tendent vers l'infini. Convergence absolue et semi-convergence peuvent être formulées à l'aide de ces deux séries.

  • Lorsque la série   converge absolument, par comparaison de séries positives, les séries   et   convergent toutes deux, donc par linéarité la série   aussi.
  • Lorsque la série   est semi-convergente, nécessairement les deux séries   et   divergent (chacune a une somme infinie). La convergence se fait donc par compensation entre les termes positifs et négatifs.

La propriété « absolue convergence implique convergence » peut ensuite être étendue aux séries à valeurs complexes en séparant de la même façon parties réelle et imaginaire.

Propriétés des séries absolument convergentesModifier

Si une série à termes réels ou complexes est absolument convergente, elle jouit des propriétés particulières suivantes, valables pour les sommes finies, mais généralement fausses pour les sommes infinies :

 
Si la série est seulement semi-convergente, le théorème de Riemann montre qu'un changement de l'ordre des termes peut conduire à une série divergente, ou à une série convergente de somme arbitrairement choisie.
 

Une autre façon d'obtenir ces propriétés pour des sommes infinies est de considérer la notion de famille sommable, très voisine de la propriété d'absolue convergence pour les séries numériques.

Extension aux séries à valeurs vectoriellesModifier

Considérons le cadre plus vaste d'un espace vectoriel normé E. Une série à termes vectoriels   converge absolument lorsque la série de terme général   converge. Sans autre précision, rien ne permet d'affirmer qu'une limite existe dans E[1]. On peut seulement affirmer que si cette limite existe alors sa norme est majorée par  .

Dans un espace de Banach, la convergence absolue d'une série implique sa convergence. Il s'agit en fait d'une équivalence[2] : si E est un espace vectoriel normé dans lequel toute série absolument convergente est convergente, alors E est complet.

Intégrale absolument convergenteModifier

De même, une intégrale :

 

converge absolument si l'intégrale de sa valeur absolue correspondante est finie :

 

Notes et référencesModifier

  1. Si E est le -espace vectoriel ℚ, la série converge dans ℝ mais si la limite est irrationnelle, elle diverge dans E.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Espaces de Banach - Complétude » de la leçon « Espaces vectoriels normés » sur Wikiversité.

Articles connexesModifier