Convergence inconditionnelle

Convergence d'une série numérique, la limite est conservée peut importe l'ordre de sommation de ses termes

Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et (xn)n∈ℕ une suite d'éléments de X. On dit que la série xn converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente[1] si, pour toute permutation σ : ℕ → ℕ, la série converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie[2].

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x X, la série représentant x converge inconditionnellement.

Lien avec les familles sommablesModifier

Théorème[1] — Une série de terme général xn est commutativement convergente si et seulement si la suite (xn)n∈ℕ est une famille sommable, et toutes les sommes   sont alors égales à n∈ℕ xn.

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes[3] :

Lemme 1 — Si toutes les séries   vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite (xn)n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles :

 

Lemme 2 — Si (xn)n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et si l'une des séries   converge, alors (xn)n∈ℕ est une famille sommable.

Autres caractérisationsModifier

Théorème — Une série de terme général xn est commutativement convergente si et seulement si pour toute suite (εn)n∈ℕ avec εn = ±1, la série   converge, ou encore si toute sous-série   (n0 < n1 < n2 < …) converge.

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre[4] comme le lemme 1 :

Lemme 3 — Si toutes les sous-séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite vérifie le critère de Cauchy pour les familles.

Notes et référencesModifier

  1. a et b Bourbaki, TG, III.44.
  2. Cf. théorème de Dvoretzky-Rogers.
  3. Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 228-229.
  4. (en) Christopher Heil, A Basis Theory Primer : Expanded Edition, Springer, , 534 p. (ISBN 978-0-8176-4686-8, lire en ligne), p. 97.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)