Série de Bertrand

Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand (du nom de Joseph Bertrand) la série à termes réels positifs suivante :

Condition de convergenceModifier

ÉnoncéModifier

Théorème de Bertrand —  La série de Bertrand associée à α et β converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

Cette condition nécessaire et suffisante se résume en (α, β) > (1, 1), où l'ordre sur les couples de réels est l'ordre lexicographique (celui adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.).

Démonstration par le critère intégral de CauchyModifier

La série de Bertrand a même comportement que l'intégrale en +∞ de la fonction

 

(définie et strictement positive sur ]1,+∞[), car f est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l'intégrale de Bertrand associée :

  • si α > 1, la série converge ;
  • si α < 1, elle diverge ;
  • si α = 1, elle converge si et seulement si β > 1.

On peut de plus remarquer que si α < 0 ou si α = 0 et β ≤ 0, alors f est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière.

Démonstration par comparaison avec d'autres sériesModifier

Les cas α ≠ 1 se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann (et croissances comparées).

Si α = β = 1, la série diverge car son terme général est équivalent à celui,  , d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si α = 1 et β ≤ 1 (et a fortiori si α < 1).

Si α = 1 et β ≠ 1, on peut procéder de même en remarquant que pour tout γ ≠ 0,  , ou utiliser le test de condensation de Cauchy. (On retrouve ensuite, par comparaison, les cas α ≠ 1.)

Voir aussiModifier

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