Groupe spécial orthogonal

type d'espace compact

En mathématiques, le groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique q est un sous-groupe de son groupe orthogonal O(q). Il est constitué des éléments dont le déterminant est +1, en supposant que la forme quadratique est non dégénérée et que la caractéristique du corps de base est différente de 2. Ce sous-groupe, noté SO(q), est donc normal et même d'indice 2 (autrement dit, la composition dans O(q) suit la règle des signes : le composé de deux éléments est dans SO(q) si et seulement si ces éléments sont tous deux dans SO(q) ou tous deux dans son complémentaire).

Sur les réels à n dimensions, on le note couramment , et moins couramment , le deuxième paramètre de la notation étant le corps de base de ce groupe. On dit aussi que c'est le groupe des matrices de rotations à n dimensions. Les réflexions (par rapport à un hyperplan vectoriel) sont des exemples de transformations orthogonales de déterminant –1 ; la composée d'un nombre pair de telles transformations est une rotation.

Sur un espace vectoriel à n dimensions, les applications linéaires (identifiables aux matrices) forment elles-mêmes un espace à dimensions, mais parmi celles-ci, le groupe n'a que degrés de liberté. C'est pourquoi une rotation en 2 dimensions s'exprime par un nombre seul alors que pour une rotation en 3 dimensions, on doit utiliser 3 nombres (voir « Angles d'Euler »).

Groupe spécial orthogonal du plan euclidienModifier

Le groupe spécial orthogonal dans  , c'est-à-dire le groupe  , est le groupe des rotations vectorielles planes, homéomorphe au cercle unité.

Matriciellement, il s'écrit :

 .