Fonction harmonique

En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction qui satisfait l'équation de Laplace.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?

DéfinitionModifier

Définition (fonction harmonique) — Soit   un ouvert non vide de   et   une fonction deux fois différentiable sur  . On dit que   est harmonique sur   si pour tout   :

 

  désigne l'opérateur laplacien, c'est-à-dire,

 .

L'équation   est appelée équation de Laplace. Une fonction harmonique est donc, par définition, une solution de cette équation.

ExemplesModifier

  • Les fonctions constantes sont harmoniques sur  .
  • Les fonctions coordonnées,  , sont toutes harmoniques sur  [1].
  • La fonction   est harmonique sur  .
  • La fonction   est harmonique sur   pour tout    désigne la norme euclidienne[1].
  • La fonction   est harmonique sur  [1].
  • La fonction   est harmonique sur   pour tout  [1].
  • Les fonctions harmoniques sur les intervalles ouverts de   sont exactement les fonctions affines.

PropriétésModifier

StabilitéModifier

  • Puisque l'opérateur laplacien est linéaire, l'ensemble des fonctions harmoniques sur un ouvert fixé est un espace vectoriel. Les fonctions harmoniques sont donc stables par addition et multiplication par un réel.
  • Si   est harmonique sur   alors   est harmonique sur  . En somme les fonctions harmoniques sont stables par translation[2].
  • Si   est harmonique sur   alors   est harmonique sur  . Ainsi les fonctions harmoniques sont stables par dilatation[2].
  • Si   est harmonique sur   et si   est une application orthogonale alors   est harmonique sur  . Cela découle du fait que, de manière générale, pour toute fonction   on a que  . Les fonctions harmoniques sont donc stables par transformation orthogonale[2].

RégularitéModifier

Une fonction harmonique est nécessairement infiniment différentiable. En fait elle est même développable en série entière[3].

Théorème (harmonique implique analytique) — Soit   une fonction harmonique sur un ouvert  . Alors pour tout   il existe   et des coefficients réels   pour tout multi-indice   tels que   et pour tout   :

 .

En particulier   est  .

Précisons qu'un multi-indice est un n-uplet   et que pour   on note  . Pour que la somme apparaissant dans le résultat précédent fasse sens, il est implicitement supposé que la famille   est sommable.

ConvergenceModifier

Une limite uniforme sur tout compact d'une suite de fonctions harmoniques est harmonique, de plus les différentielles convergent aussi. Plus précisément[4]

Théorème (convergence) — Soit   une suite de fonctions harmoniques sur un ouvert   qui converge uniformément sur tout compact vers une fonction  . Alors   est harmonique sur  . De plus, pour tout multi-indice  , la suite   converge uniformément sur tout compact vers  .

Propriété de la moyenneModifier

La boule ouverte de centre   et de rayon   sera notée  . La boule fermée sera notée   et la sphère sera notée  . Le principe de la moyenne dit qu'une fonction harmonique est égale en tout point à sa moyenne prise sur une boule centrée en ce point. En réalité on peut voir l'équation de Laplace comme une propriété locale de la moyenne. Cette propriété locale devient globale grâce à l'identité de Green[5].

Théorème (Propriété de la moyenne sur la boule) — Soit   une fonction harmonique sur un ouvert   et  . Alors

 

  désigne la mesure de Lebesgue sur  .

Il existe aussi une autre version de la propriété de la moyenne, où cette fois, la moyenne est prise sur la sphère[6].

Théorème (Propriété de la moyenne sur la sphère) — Soit   une fonction harmonique sur un ouvert   et  . Alors

 

  désigne la mesure de Lebesgue normalisée sur la sphère unité  .

Précisons ce qu'est la mesure de Lebesgue normalisée sur la sphère. Pour tout   avec   un borélien de  , on a

 .

Réciproque de la propriété de la moyenneModifier

La propriété de la moyenne caractérise en réalité les fonctions harmoniques dans le sens où, si une fonction satisfait la propriété de la moyenne, alors elle est harmonique[7].

Théorème (Réciproque de la propriété de la moyenne sur la boule) — Soit   une fonction localement intégrable sur un ouvert  . Supposons que pour toute boule   telle que   on ait

 .

Alors   est harmonique sur  .

Encore une fois il existe une autre version pour la sphère[8].

Théorème (Réciproque de la propriété de la moyenne sur la boule) — Soit   une fonction continue sur un ouvert  . Supposons que pour tout   il existe une suite   tendant vers   telle que pour   on ait

 .

Alors   est harmonique sur  .

A noter que dans la première réciproque, la fonction est seulement supposée localement intégrable, alors que dans la seconde elle est supposée continue.

Principe du maximumModifier

Le principe du maximum est une conséquence importante de la propriété de la moyenne[9].

Théorème (Principe du maximum) — Soit   une fonction harmonique sur un ouvert connexe  . Si   possède un extremum (c'est-à-dire un maximum ou un minimum) sur   alors   est constante.

Le corollaire suivant est une conséquence directe du principe du maximum[10].

Corollaire — Soit   un ouvert borné et   une fonction continue sur   et harmonique sur  . Alors les extremums sur   de   sont atteints sur la frontière  .

Le principe du maximum donne une preuve simple de l'unicité d'un problème de Dirichlet sur un ouvert borné  . En effet, si deux fonctions continues  et   sur   sont harmoniques sur   et égales sur   alors leur différence   est aussi harmonique sur  . Par le principe du maximum, ou plutôt par son corollaire ci-dessus, le maximum et le minimum de   sont atteints sur  , donc valent 0, ce qui implique que  . Il existe une version locale du principe du maximum[11].

Théorème (Principe du maximum local) — Soit   une fonction harmonique sur un ouvert connexe  . Si   possède un extremum local sur   alors   est constante.

Puisqu'un extremum est, a fortiori, un extremum local, ce dernier théorème est en fait une généralisation du principe du maximum global. Le principe du maximum local se déduit du global en utilisant en plus le fait que les fonctions harmoniques sont développables en série entière. En effet cela permet de montrer que la constance locale induit la constance globale.

Théorème de LiouvilleModifier

Théorème de Liouville — Soit   une fonction harmonique sur tout l'espace  . Si   est bornée alors elle est constante.

Le théorème de Liouville[12] peut donner une preuve de l'unicité d'un problème de Dirichlet sur un domaine non borné, à condition de se restreindre aux solutions bornées. Il complète, en ce sens, le principe du maximum. Par exemple le théorème de Liouville implique l'unicité des solutions bornées sur le demi-espace :

 .

Plus précisément[13]

Corollaire — Soit   une fonction continue sur  , harmonique sur  , nulle sur   et bornée. Alors   est nulle sur  .

Il existe une version plus forte du théorème de Liouville[14].

Théorème de Liouville généralisé — Soit   une fonction harmonique sur tout l'espace  . Si

 

alors   est constante.

Cette version généralisée implique la première version du théorème pour les fonctions bornées. Elle implique aussi qu'une fonction harmonique positive sur l'espace entier est nécessairement constante[15]. Cette dernière propriété permet de montrer qu'une fonction harmonique positive   sur   est constante[16] (il suffit de considérer la fonction   qui est harmonique et positive sur  , que l'on identifie à  ).

Principe de DirichletModifier

Le principe de Dirichlet dit que la solution d'un problème de Dirichlet (c'est-à-dire une solution de l'équation de Laplace avec une condition au bord en plus) est la fonction qui minimise une certaine énergie, appelée énergie de Dirichlet. Plus précisément, soit   un ouvert borné non vide de   avec une frontière   de classe  . Soit   une fonction continue. Notons   l'ensemble des fonctions admissibles et   l'énergie de Dirichlet d'un élément admissible  . Le problème de Dirichlet associé à   et   consiste alors à trouver une fonction   continue sur  , harmonique sur   et égale à   sur la frontière  .

Théorème (principe de Dirichlet) — Soit  . Alors   résout le problème de Dirichlet si et seulement si

 .

Fonction harmonique en dimension 2Modifier

En identifiant ℂ à ℝ2, on va voir que les fonctions harmoniques sont très liées aux fonctions holomorphes[17].

Théorème (holomorphe vers harmonique) — Soit   une fonction holomorphe sur un ouvert   de  . Alors la partie réelle   est une fonction harmonique sur  .

La réciproque de cette propriété est fausse. En effet une fonction harmonique n'est pas forcément la partie réelle d'une fonction holomorphe définie sur tout le domaine. En revanche elle est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe. Plus précisément[18]

Théorème (harmonique vers holomorphe) — Soit   une fonction harmonique sur un ouvert simplement connexe   de  . Alors il existe une fonction holomorphe   telle que  .

Une telle caractérisation des fonctions harmoniques n'existe pas en dimension supérieure à deux.

Articles connexesModifier

NotesModifier

  1. a b c et d Axler, Bourdon et Ramey 2001, Definitions and Examples, p. 1.
  2. a b et c Axler, Bourdon et Ramey 2001, Invariance Properties, p. 2.
  3. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 1.28, p. 21.
  4. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 1.23, p. 16.
  5. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 1.6, p. 6.
  6. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 1.4, p. 5.
  7. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 1.25, p. 18.
  8. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 1.24, p. 17.
  9. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 1.8, p. 7.
  10. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Corollaire 1.9, p. 7.
  11. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 1.29, p. 23.
  12. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 2.1, p. 31.
  13. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Corollaire 2.2, p. 32.
  14. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 9.10, p. 198.
  15. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Théorème 3.1, p. 45.
  16. Axler, Bourdon et Ramey 2001, Corollaire 3.3, p. 46.
  17. Marçay 2017, Proposition 1.2, p. 2.
  18. Marçay 2017, Théorème 1.4, p. 3.

RéférencesModifier