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Lemme de Schwarz

Lemme d'analyse complexe
Ne doit pas être confondu avec Théorème de Schwarz.
Ne doit pas être confondu avec Lemme de Schwartz-Zippel.

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe.

ÉnoncéModifier

Soit   une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :

  •  
  •  .

Alors on a :

  pour tout   appartenant à D et  .

Si, de plus, il existe un élément non nul   de D vérifiant  , ou bien si  , alors il existe un nombre complexe   de module 1 tel que   pour tout   appartenant à  .

PreuveModifier

La preuve[1] est une application directe du principe du maximum.

Lemme de Schwarz-PickModifier

Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick[2], nommé en l'honneur de Georg Pick, permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité[3] :

Soit f : DD une fonction holomorphe. Alors, pour tout z1z2 ∈ D,

 

et, pour tout z ∈ D,

 .

L'expression

 

est une distance au sens de la métrique de Poincaré. Le lemme de Schwarz-Pick nous donne que toute fonction holomorphe du disque unité dans lui-même réduit la distance entre deux points au sens de la métrique de Poincaré. Si l'égalité au lieu dans l'une des deux inégalités du lemme (ce qui est équivalent à dire que l'application holomorphe f préserve la distance dans la métrique de Poincaré), alors f est un automorphisme analytique, donné par une transformation de Möbius envoyant le disque unité vers lui-même.

Un énoncé équivalent sur le demi-plan de Poincaré H peut être fait :

Soit f : HH une fonction holomorphe. Alors, pour tout, z1z2H,

 .

C'est une conséquence directe du lemme de Schwarz-Pick : en utilisant le fait qu'une transformation de Cayley W(z) = (z − i)/(z + i) est une application conforme envoyant le demi-plan supérieur H vers le disque unité D, on obtient que l'application W ∘ f ∘ W−1 est holomorphe et envoie D sur D. En appliquant le lemme de Schwarz-Pick à la fonction W ∘ f ∘ W−1 et en utilisant l'expression explicite de W, on arrive au résultat voulu. De même, pour tout ∈ H,

 .

Si l'égalité a lieu pour l'une de deux inégalités précédentes, alors f est une transformation de Möbius à coefficients réels, c'est-à-dire

 

avec abcdR, et ad − bc > 0.

BibliographieModifier

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schwarz lemma » (voir la liste des auteurs).
  1. Cartan, p. 84.
  2. Hervé Queffélec, Analyse pour l'agrégation cours et exercices corrigés, Dunod, (ISBN 9782100700936, OCLC 862735438), p. 575.
  3. Cartan, p. 175-187.