Retard de groupe et retard de phase

En traitement du signal, le temps de propagation de groupe ou retard de groupe est le retard infligé par un filtre, en secondes, de l'enveloppe en amplitude pour un signal à bande étroite. Le retard de phase est le retard (en secondes) de chaque composante fréquentielle calculé à partir de la réponse en phase du filtre. Le temps de propagation de groupe et le retard de phase dépendent en général de la fréquence, à l'exception d'un filtre à phase linéaire dont le retard de groupe et de phase sont constants et sont tous deux égaux.

Mathématiquement, le retard de groupe et retard de phase sont calculés par les formules

.

désigne la phase de la fonction de transfert en fonction de la pulsation.

FondementModifier

 
Diagramme de Bode d'un filtre passe-bande. Le retard de groupe correspond à l'opposé de la pente de la tangente

Tout système linéaire introduit un retard (ou délai) sur chacune des composantes fréquentielles du signal. À moins que le système soit à phase linéaire, ce retard est différent pour chaque composante fréquentielle. La variation de ce retard entraîne une distorsion sur le signal (distorsion de phase) car chaque composante n'est pas retardée de la même façon. Ces distorsions se constatent par les non-linéarités du tracé de la phase du diagramme de Bode et peuvent être quantifiées par les variations du temps de propagation de groupe et retard de phase par rapport à la fréquence.

Le retard de phase a la justification mathématique la plus directe. Pour une entrée harmonique

 

la sortie est

 .

Si l'on souhaite interpréter le déphasage en termes de retard, on identifie   à  , ce qui amène à  . En ignorant la congruence, on retrouve

 


 
Illustration de la signification du temps de propagation de groupe pour un paquet d'onde localisé en temps et en fréquence

Le temps de propagation de groupe s'interprète en considérant plusieurs composantes fréquentielles. On prend comme signal d'entrée un paquet d'onde localisé en temps et en fréquence autour d'une pulsation  . Dans le domaine fréquentiel, le signal peut s'écrire comme

 

  est la transformée de Fourier de l'enveloppe  . Sous l'hypothèse que   est concentrée autour de 0, la sortie du filtre s'approxime dans le domaine fréquentiel par

 

On n'a pas fait apparaître le terme d'ordre 1 lié au module   qui n'est pas d'intérêt ici (on ignore ainsi les distorsions d'amplitude). Cette approximation s'écrit encore:

 

Or le terme variable   correspond à la transformée de Fourier de l'enveloppe translatée   avec   le temps de propagation de groupe défini par

 .

  s'interprète ainsi comme le retard du paquet d'onde infligé par l'action du filtre.

Voir aussiModifier

  • Filtre de Bessel : filtre RII approximant un filtre à phase linéaire
  • Filtre à minimum de phase : Filtre qui pour une réponse en gain fixée minimise le temps de propagation de groupe
  • Vitesse de groupe et vitesse de phase : On peut considérer la propagation d'une onde progressive comme l'action d'une ligne à retard dont la valeur du retard dépend de la position. Pour une onde monochromatique ce retard est   avec   le nombre d'onde,   la vitesse de phase et   la distance au plan   dans la direction du vecteur d'onde. Dans ce cas la vitesse de phase est la distance   divisé par le retard de phase. De même la vitesse de groupe est   divisé par le temps de propagation de groupe.

RéférencesModifier