Régularisation zêta

La régularisation zêta est une méthode de régularisation des déterminants (en) d'opérateurs qui apparaissent lors de calculs d'intégrales de chemins en théorie quantique des champs.

Le cas du LaplacienModifier

Soit   un domaine compact de   à bord  . Sur ce domaine, on considère l'opérateur positif  , où   est le Laplacien, muni de conditions aux limites sur le bord   du domaine (Dirichlet, Neumann, mixtes) qui précisent complètement le problème.

Lorsque le domaine   est compact, l'opérateur positif   possède un spectre discret de valeurs propres auxquels est associée une base orthonormée de vecteurs propres (on utilise ici les notations de Dirac) :

 

Fonction zêta spectraleModifier

DéfinitionModifier

On suppose ici que le fondamental  . Par analogie avec la fonction zêta de Riemann, on introduit la fonction zêta spectrale par la série de type Dirichlet :

 

Cette série ne converge que pour Re(s) suffisamment grand, mais elle admet un prolongement méromorphe à tout le plan complexe.

Lorsque le spectre de l'opérateur   n'est pas connu explicitement, on peut utiliser la définition formelle comme trace :

 

Lien avec le déterminantModifier

Le déterminant de l'opérateur H est défini par :

 

Avec l'identité :

 

on démontre facilement la relation formelle :

 

où la dérivée de la fonction zêta est évaluée en s = 0.

Lien avec le noyau de la chaleurModifier

La fonction zêta est reliée par une transformée de type Mellin :

 

à la trace du noyau de la chaleur, définie par :

 

Lien avec l'intégraleModifier

Pour n entier, la régularisation zêta permet de donner un sens à des intégrales divergentes de la forme  

 ,
 .

Cette méthode a été introduite en théorie quantique des champs par des physiciens comme James Hartle et Emilio Elizalde. On peut l'utiliser pour régulariser le produit de deux distributions en utilisant le théorème de convolution avec intégrales divergentes  

ExtensionsModifier

Articles liésModifier

BibliographieModifier

Ouvrages de référencesModifier

  • (en) E. Elizalde, Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions, Lecture Notes in Physics. New Series M35 (Springer-Verlag, 1995), chapitre 1.
  • (en) E. Elizalde, S.D. Odintsov, A. Romeo et S. Zerbini, Zeta Regularization Techniques With Applications, (World Scientific, 1994).

ArticlesModifier

  • (en) J. S. Dowker et R. Critchley, Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter spacee, Physical Review D 13 (1976), 3224-3232.
  • (en) Stephen Hawking, Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime, Communications in Mathematical Physics 55 (2) (1977), 133-148. Euclide Project.
  • (en) André Voros, Spectral functions, special functions and the Selberg zeta function, Communications in Mathematical Physics 110 (3) (1987), 439–465. Euclide Project.
  • Pierre Cartier et André Voros, Nouvelle interprétation de la formule des traces de Selberg, Journées équations aux dérivées partielles (1988), Art. No. 13. Numdam
  • (en) E. Elizalde, Zeta-function regularization is well-defined and well, Journal of Physics A 27 (1994), L299-304.