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En mathématiques, pour un espace de Banach E et un endomorphisme continu u de E, on dit que λ est une valeur spectrale de u si l'endomorphisme uλId n'a pas un inverse qui soit un endomorphisme continu.

Si E est de dimension finie, tous les endomorphismes de E sont continus et tout endomorphisme de E injectif est bijectif, par conséquent la notion de valeur spectrale se confond avec celle de valeur propre.

Dans le cas général, si uλId a un inverse alors cet inverse est automatiquement linéaire, et (par le théorème de l'application ouverte) continu. Cette précision peut donc être ôtée de la définition initiale (elle n'intervient à nouveau que lorsqu'on cherche à étendre la définition à un opérateur u non borné) :

  • les valeurs spectrales de u sont simplement les λ tels que uλId ne soit pas bijectif.

Les valeurs propres correspondent au cas uλId non injectif. C'est parfois le seul cas :

Le cas (non disjoint) uλId non surjectif peut se reformuler en : son image est non fermée ou non dense (à nouveau, ce « ou » est non exclusif). Or un opérateur borné T est à la fois injectif et d'image fermée si et seulement s'il est borné inférieurement, c'est-à-dire si et seulement s'il existe une constante C > 0 telle que pour tout vecteur x, la norme de Tx soit supérieure ou égale à celle de Cx.

Inversement, T est non injectif ou d'image non fermée s'il n'est pas borné inférieurement, ce qui équivaut à l'existence d'une suite de vecteurs unitaires xn tels que Txn → 0. Les λ tels que uλId ne soit pas borné inférieurement s'appellent les valeurs propres approchées de u. On peut donc reformuler :

  • les valeurs spectrales de u sont ses valeurs propres approchées et les λ tels que l'image de uλId ne soit pas dense.

Une valeur spectrale peut vérifier simultanément ces deux conditions. Les valeurs spectrales résiduelles (celles qui ne sont pas valeurs propres approchées) sont difficiles à caractériser, mais on dispose du théorème suivant :

Un exemple de valeur spectrale résiduelle : pour une isométrie non surjective — par exemple pour l'opérateur de décalage sur 2 qui envoie (x0, x1, …) sur (0, x0, x1, …) — 0 est une valeur spectrale résiduelle.

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