Ordre moyen d'une fonction arithmétique

En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction «simple» g approchant f en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen de f est une fonction g réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait :

Autrement dit, les moyennes arithmétiques de f et g entre 1 et n sont des fonctions asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction g n'est bien entendu pas unique.

ExemplesModifier

 
"Courbe" de la somme des diviseurs σ(n), avec l'ordre moyen   en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

Meilleur ordre moyenModifier

Cette notion peut être présentée à l'aide de l'exemple du nombre de diviseurs. De la formule de Dirichlet [2] :

 

(  est la constante d'Euler-Mascheroni) et de la formule de Stirling :

 

on tire la relation asymptotique

 

tandis que

 

ce qui suggère que ln(n) + 2γ est un meilleur choix d'ordre moyen pour d(n) que simplement ln(n).

RéférencesModifier

  1. (de) Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, « Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie », Abh. Kön. Preuß. Akad.,‎ , p. 69-83 (lire en ligne) (cette propriété est essentielle dans la démonstration du théorème de Cesàro).
  2. Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, , chap. 1.3 (« Sur les ordres moyens »)

Article connexeModifier

Identités liées aux sommes de diviseurs