Ordre moyen d'une fonction arithmétique

En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction «simple» g approchant f en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen de f est une fonction g réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait :

Autrement dit, les moyennes arithmétiques de f et g entre 1 et n sont des fonctions asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction g n'est bien entendu pas unique.

ExemplesModifier

  • Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de n est 2n/3
  • Un ordre moyen de  , nombre de diviseurs de n, est  
  • Un ordre moyen de  , somme des diviseurs de n, est  
 
"Courbe" de la somme des diviseurs  , avec l'ordre moyen   en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

Meilleur ordre moyenModifier

Cette notion peut être présentée à l'aide d'un exemple. De

 

(  est la constante d'Euler-Mascheroni) et

 

on tire la relation asymptotique

 

qui suggère que la fonction   est un meilleur choix d'ordre moyen pour   que simplement  .

RéférencesModifier