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Fonction de von Mangoldt

Fonction arithmétique

DéfinitionModifier

La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée  , est définie sur   par

 

Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive.

Elle satisfait l'identité[1]

  ou, ce qui est équivalent,  ,

où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où   désigne la fonction de Möbius.

Fonction de TchebychevModifier

La « fonction sommatoire de von Mangoldt »  , aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev, est définie par

 .

Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite (en) pour  , impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann[2]. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers, qui équivaut à  .

Séries de DirichletModifier

La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, en particulier la fonction zêta de Riemann. Son logarithme est

 

pour  . Sa dérivée logarithmique est donc :

 .

Plus généralement[3], sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet  , on a

  et si   est complètement multiplicative, on en déduit
 .

Transformation de Mellin de la fonction de TchebychevModifier

La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :

 

qui reste vraie pour  .

Série exponentielleModifier

 
Une série exponentielle impliquant la fonction de von Mangoldt, sommée jusqu'aux premiers   termes

L'équivalent   (voir supra) se réécrit :

 .

Hardy et Littlewood ont examiné la série[4]

 .

Ils ont démontré sous l'hypothèse de Riemann que

 

et que

 .

Ainsi (si l'hypothèse de Riemann est vraie) cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes: il existe une valeur   telle que chacune des inégalité

  et  

est vraie infiniment souvent dans chaque voisinage de 0. Le graphe sur la droite montre que ce comportement n'est pas facile à illustrer : les oscillations ne sont clairement visibles que lorsque les 100 premiers millions de termes de la série ont été sommés, et pour  .

La moyenne de RieszModifier

La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par

 
 
 .

Ici,   et   sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre  . La somme sur   est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série   converge pour  .

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Von Mangoldt function » (voir la liste des auteurs).
  1. Voir (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (ISBN 978-0-38790163-3, lire en ligne), p. 32-33, th. 2.10 et 2.11, ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
  2. (en) Allan Gut, « Some remarks on the Riemann zeta distribution », Rev. Roumaine Math. Pures et Appl., vol. 51,‎ , p. 205-217 (lire en ligne).
  3. C'est plutôt par cette méthode qu'Apostol 1976, p. 236, calcule ζ'/ζ, après s'être assuré (p. 228-229) que sur son demi-plan de convergence, ζ ne s'annule pas.
  4. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196.