Lemme de Cesàro

théorème d'analyse

En analyse réelle ou complexe, la moyenne de Cesàro d'une suite (an) est la suite obtenue en effectuant la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite.

Le nom de Cesàro provient du mathématicien italien Ernesto Cesàro (1859-1906), mais le théorème est déjà démontré dans le Cours d'Analyse (en) (1821) de Cauchy[1].

Le théorème de Cesàro ou lemme de Cesàro précise que, lorsque la suite (an) a une limite, la moyenne de Cesàro possède la même limite.

Il existe cependant des cas où la suite (an) n'a pas de limite et où la moyenne de Cesàro est, elle, convergente. C'est cette propriété qui justifie l'utilisation de la moyenne de Cesàro comme procédé de sommation de séries divergentes.

Moyenne de CesàroModifier

Soit une suite  . Alors la moyenne de Cesàro est la suite de terme général :

 

Le terme d'indice n est ainsi la moyenne arithmétique des n premiers termes de  .

Lemme de CesàroModifier

Suites convergentesModifier

Théorème de Cesàro[2] —  Soit   une suite de nombres réels ou complexes. Si elle converge vers , alors la suite de ses moyennes de Cesàro, de terme général

 ,

converge également, et sa limite est .

Limite infinieModifier

Si une suite de réels   a pour limite +∞ ou –∞, il en est de même de la suite de ses moyennes de Cesàro.

Suites divergentesModifier

La réciproque du lemme de Cesàro est fausse : il existe des suites divergentes pour lesquelles la moyenne de Cesàro converge. C'est par exemple le cas de la suite périodique

 

divergente mais qui a pour moyenne de Cesàro 1/2.

Lemme de l'escalierModifier

Un énoncé équivalent au théorème de Cesàro (également dans le cas infini ci-dessus) est : pour toute suite  , si un – un–1 alors un/n (on passe d'un énoncé à l'autre par télescopage, en posant   et inversement, an = un – un–1). C'est cet énoncé qui figure dans Cauchy 1821, p. 59.

Application aux séries divergentesModifier

La moyenne de Cesàro donne un procédé de sommation de certaines séries divergentes au sens usuel.

Exemple de la série de GrandiModifier

La série de Grandi est la série associée à la suite

 

dont les sommes partielles sont

 .

La série de Grandi est divergente mais la moyenne de Cesàro des sommes partielles converge vers 1/2 (voir plus haut).

On associe alors à la série de Grandi la somme  .

Euler proposa le résultat 1/2 avec une autre méthode : si l'on suppose que la somme est bien définie, notons-la  , alors

 

donc

 

et donc

 .

Le point non prouvé est alors l'existence de  , i.e. la pertinence des calculs menés. L'enjeu du travail sur les séries divergentes consiste justement à montrer que la valeur attribuée a un sens mathématique (par exemple, qu'elle ne dépend pas de la méthode employée).

UtilisationsModifier

Une utilisation notable de la moyenne de Cesàro est faite dans le cadre des séries de Fourier : les sommes de Fejér sont les moyennes de Cesàro des sommes partielles de la série de Fourier. Pour la série de Fourier, les théorèmes de convergence sont délicats ; au contraire, les sommes de Fejér vérifient des résultats de convergence très forts, décrits par le théorème de Fejér.

Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est une série convergente pour le procédé de sommation de Cesàro.

La moyenne de Cesàro est un procédé de sommation de séries divergentes particulièrement appliqué dans la théorie des séries de Dirichlet[4].

Si une suite (xn) de réels strictement positifs possède une limite ℓ ∈ [0, +∞], le lemme de Cesàro appliqué à an = log(xn) montre que la suite de ses moyennes géométriques nx1xn tend vers . Ce qui se réécrit : si une suite (yn) de réels strictement positifs est telle que yn+1/yn → ℓ alors nyn → ℓ.

GénéralisationModifier

Il existe plusieurs généralisations de la moyenne de Cesàro, au travers du théorème de Stolz-Cesàro et de la moyenne de Riesz. Le procédé de Cesàro est souvent appelé moyenne (C,1). Pour chaque entier k, il existe une moyenne de Cesàro d'ordre k, permettant de sommer certaines séries divergentes que les procédés (C, n) ne somment pas pour n < k.

Il existe beaucoup d'autres procédés de sommation[5],[6],[7], dont celui de Borel.

Notes et référencesModifier

  1. Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique, 1re partie : Analyse algébrique, (lire en ligne), p. 48-52, 1er théorème et p. 59, 3e théorème.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple Cauchy 1821, p. 48-50 ou la section correspondante de la leçon « Équivalents et développements de suites » sur Wikiversité.
  3. Voir aussi Cauchy 1821, p. 50-52.
  4. (en) Hardy et Riesz, The General Theory of Dirichlet's Series.
  5. (en) Godfrey Harold Hardy, Divergent Series, Oxford University Press, (1re éd. 1949) (lire en ligne)
  6. Marc Zamansky, « La sommation des séries divergentes », Mémorial des sciences mathématiques, no 58,‎ (lire en ligne).
  7. Ervand Kogbetliantz, « Sommation des séries et intégrales divergentes par les moyennes arithmétiques et typiques », Mémorial des sciences mathématiques, no 51,‎ (lire en ligne).

Articles connexesModifier