Fonction nombre de diviseurs

fonction arithmétique

En théorie des nombres — une branche des mathématiques — la fonction nombre de diviseurs est une fonction arithmétique qui indique le nombre de diviseurs d'un entier naturel n, en incluant parmi les diviseurs de n les nombres 1 et n. Elle est généralement notée ou (de l'allemand Teiler : diviseur), ou encore , comme cas particulier de fonction diviseur.

DéfinitionModifier

Pour tout nombre naturel   on définit :

 .

Les premières valeurs sont les suivantes[1] :

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Diviseurs de   1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
  1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

PropriétésModifier

  • On a l'identité suivante :  [2]
  • Si la décomposition en produit de facteurs premiers de   est
     ,
    alors[3] :
     .
  • La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, c.-à-d. que si   et   sont premiers entre eux, alors :
     .
  • Un nombre   est premier si et seulement si  .
  • Un nombre   est un carré parfait si et seulement si   est impair.
  • La série de Dirichlet de la fonction nombre de diviseurs est le carré de la fonction zêta de Riemann[4] :
      (pour  ).

Comportement asymptotiqueModifier

En moyenne,  . Plus précisément : il existe des constantes   telles que[5]

 

(où   est un symbole de Landau et   la constante d'Euler-Mascheroni.)

La valeur   a déjà été prouvée par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet[6], c'est pourquoi la recherche de meilleures valeurs est appelée le « problème des diviseurs de Dirichlet (en) »[7].

De meilleures valeurs ont été indiquées par Gueorgui Voronoï (1903,   remplacé par  )[8], Johannes van der Corput (1922,  )[9], ainsi que Martin Huxley (de) ( )[10]. À l'opposé, Godfrey Harold Hardy et Edmund Landau ont démontré[11] que   est nécessairement supérieur ou égal à 1/4. Les valeurs possibles pour   sont toujours l'objet de recherches.

GénéralisationsModifier

La fonction diviseur   associe à chaque nombre   la somme des puissances  -ièmes de ses diviseurs :

 

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de la fonction diviseur pour   :

 .

Notes et référencesModifier

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Teileranzahlfunktion » (voir la liste des auteurs).
  1. Pour plus de valeurs, voir la suite A000005 de l'OEIS.
  2. Monier, Jean-Marie., Analyse. tome 1, 800 exercices résolus et 18 sujets d'étude, Dunod, (ISBN 2040188592 et 9782040188597, OCLC 22533483, lire en ligne), page 174
  3. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], 4e éd., 1975, p. 239, Th. 273.
  4. Hardy Wright, p. 250, Th. 289.
  5. Hardy Wright, p. 264, Th. 320.
  6. (de) P. G. L. Dirichlet, « Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie », Abhandl. König. Preuss. Akad. Wiss., 1849, p. 69-83 ou Werke, t. II, p. 49-66.
  7. Olivier Bordellès, « Le problème des diviseurs de Dirichlet », Quadrature, no 71,‎ , p. 21-30 (lire en ligne).
  8. G. Voronoï, « Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques », J. reine angew. Math., vol. 126,‎ , p. 241-282 (lire en ligne).
  9. (de) J. G. van der Corput, « Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem », Math. Ann., vol. 87, 1922, p. 39-65. « —, Corrections », vol. 89, 1923, p. 160.
  10. (en) M. N. Huxley, « Exponential Sums and Lattice Points III », Proc. London Math. Soc., vol. 87, no 3,‎ , p. 591-609.
  11. (en) G. H. Hardy, « On Dirichlet'’s divisor problem », Proc. Lond. Math. Soc. (2), vol. 15, 1915, p. 1-25. Cf. Hardy Wright, p. 272.
  12. Les deux premières colonnes sont extraites de la suite A005179 de l'OEIS. Pour   premiers tels que  ,   et  .

Article connexeModifier

Nombre hautement composé