Fonction nombre de diviseurs

fonction arithmétique

En théorie des nombres — une branche des mathématiques — la fonction nombre de diviseurs est une fonction arithmétique qui indique le nombre de diviseurs d'un entier naturel n, en incluant parmi les diviseurs de n les nombres 1 et n. Elle est généralement notée ou (de l'allemand Teiler : diviseur), ou encore , comme cas particulier de fonction diviseur.

DéfinitionModifier

Pour tout nombre naturel   on définit :

 .

Les premières valeurs sont les suivantes[1] :

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Diviseurs de   1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
  1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

PropriétésModifier

  • On a l'identité suivante :  [2]
  • Si la décomposition en produit de facteurs premiers de   est
     ,
    alors[3] :
     .
  • La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, c.-à-d. que si   et   sont premiers entre eux, alors :
     .
  • Un nombre   est premier si et seulement si  .
  • Un nombre   est un carré parfait si et seulement si   est impair.
  • La série de Dirichlet de la fonction nombre de diviseurs est le carré de la fonction zêta de Riemann[4] :
      (pour  ).

Comportement asymptotiqueModifier

En moyenne,  . Plus précisément : il existe des constantes   telles que[5]

 

(où   est un symbole de Landau et   la constante d'Euler-Mascheroni.)

La valeur   a déjà été prouvée par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet[6], c'est pourquoi la recherche de meilleures valeurs est appelée le « problème des diviseurs de Dirichlet (en) »[7].

De meilleures valeurs ont été indiquées par Gueorgui Voronoï (1903,   remplacé par  )[8], Johannes van der Corput (1922,  )[9], ainsi que Martin Huxley (de) ( )[10]. À l'opposé, Godfrey Harold Hardy et Edmund Landau ont démontré[11] que   est nécessairement supérieur ou égal à 1/4. Les valeurs possibles pour   sont toujours l'objet de recherches.

GénéralisationsModifier

La fonction diviseur   associe à chaque nombre   la somme des puissances  -ièmes de ses diviseurs :

 

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de la fonction diviseur pour   :

 .

Notes et référencesModifier

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Teileranzahlfunktion » (voir la liste des auteurs).
  1. Pour plus de valeurs, voir la suite A000005 de l'OEIS.
  2. Monier, Jean-Marie., Analyse. tome 1, 800 exercices résolus et 18 sujets d'étude, Paris, Dunod, , 304 p. (ISBN 2-04-018859-2 et 9782040188597, OCLC 22533483, lire en ligne), page 174
  3. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], 4e éd., 1975, p. 239, Th. 273.
  4. Hardy Wright, p. 250, Th. 289.
  5. Hardy Wright, p. 264, Th. 320.
  6. (de) P. G. L. Dirichlet, « Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie », Abhandl. König. Preuss. Akad. Wiss., 1849, p. 69-83 ou Werke, t. II, p. 49-66.
  7. Olivier Bordellès, « Le problème des diviseurs de Dirichlet », Quadrature, no 71,‎ , p. 21-30 (lire en ligne).
  8. G. Voronoï, « Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques », J. reine angew. Math., vol. 126,‎ , p. 241-282 (lire en ligne).
  9. (de) J. G. van der Corput, « Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem », Math. Ann., vol. 87, 1922, p. 39-65. « —, Corrections », vol. 89, 1923, p. 160.
  10. (en) M. N. Huxley, « Exponential Sums and Lattice Points III », Proc. London Math. Soc., vol. 87, no 3,‎ , p. 591-609.
  11. (en) G. H. Hardy, « On Dirichlet'’s divisor problem », Proc. Lond. Math. Soc. (2), vol. 15, 1915, p. 1-25. Cf. Hardy Wright, p. 272.
  12. Les deux premières colonnes sont extraites de la suite A005179 de l'OEIS. Pour   premiers tels que  ,   et  .

Article connexeModifier

Nombre hautement composé