Identités liées aux sommes de diviseurs

Cet article liste les identités nouvelles, intéressantes et utiles liées aux sommes de diviseurs apparaissant en théorie des nombres, c'est-à-dire les sommes d'une fonction arithmétique indexées par les diviseurs d'un nombre naturel , ou de manière équivalente, la convolution de Dirichlet d'une fonction arithmétique avec la fonction suivante :

Ces identités incluent des applications à des sommes d'une fonction arithmétique indexées seulement sur les diviseurs premiers propres de . Nous définissons également des variantes périodiques de ces sommes de diviseur par rapport au plus grand commun diviseur sous la forme

Des relations d'inversion bien connues qui permettent d'exprimer la fonction en fonction de sont fournis par la formule d'inversion de Möbius. Naturellement, certains des exemples les plus intéressants de telles identités résultent de l'étude de fonctions sommatoires d'ordre moyen d'une fonction arithmétique définie comme étant la somme des diviseurs d'une autre fonction arithmétique . Des exemples particuliers de sommes de diviseurs, impliquant des fonctions arithmétiques spéciales et des convolutions de Dirichlet spéciales de fonctions arithmétiques, peuvent être trouvées sur les pages dédiées à la fonction arithmétique, la convolution de Dirichlet, l'indicatrice d'Euler et la somme de Ramanujan.

Identités liées à des sommes d'ordre moyenModifier

Identités d'échange (d'ordre) de sommationModifier

Les identités suivantes sont la principale motivation pour créer cette page de sujets. Ces identités ne semblent pas bien être connues, ou du moins bien documentées, et sont des outils extrêmement utiles à avoir sous la main dans certaines applications. Dans ce qui suit, on suppose   sont des fonctions arithmétiques données et que   est la fonction sommatoire de  . Un cas spécial plus courant de la première sommation ci-dessous est référencé sur la page "ordre moyen d'une fonction arithémtique"[1].

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Ces identités ne sont pas difficiles à prouver et constituent un exercice de manipulation standard d'inversion série-somme de diviseurs. Par conséquent, nous omettons leurs preuves ici.

La méthode de convolutionModifier

La méthode de convolution est une technique générale d'estimation des sommes d'ordre moyen de la forme

 

où la fonction multiplicative f peut être écrite comme un produit de convolution sous la forme   pour des fonctions arithmétiques u et v bien choisies[2].

Sommes périodiques de diviseursModifier

Une fonction arithmétique est périodique modulo k, ou k-périodique, si   pour tous  . Des exemples de fonctions k-périodiques sont les caractères de Dirichlet   modulo k et la fonction plus grand commun diviseur  . On sait que chaque fonction arithmétique k-périodique possède une représentation en série de Fourier (discrète finie) de la forme

 

où les coefficients de Fourier   définis par l'équation suivante sont également k-périodiques :

 

On s'intéresse aux "fonctions diviseurs" k-périodiques suivantes :

 

On sait que les coefficients de Fourier de ces sommes de diviseurs sont données par la formule [3]

 

Transformées de Fourier du PGCDModifier

On peut également exprimer les coefficients de Fourier, dans l'équation immédiatement ci-dessus, en termes de transformée de Fourier de toute fonction h prenant ses valeurs sur l'ensemble des   en utilisant le résultat suivant, où   est une somme de Ramanujan (cf. Transformée de Fourier de la fonction indicatrice d'Euler )[4]:

 

Ainsi, en combinant les résultats ci-dessus, nous obtenons que

 

Somme sur les diviseurs premiersModifier

Soit   la fonction caractéristique des nombres premiers, c'est-à-dire   si et seulement si   est premier et vaut zéro sinon. Alors, comme cas particulier de la première identité dans l'équation (1) dans la section à propos de l'échange (d'ordre) de sommation ci-dessus, on peut exprimer les sommes d'ordre moyen

 

Il existe également une formule intégrale basée sur la formule sommatoire d'Abel pour les sommes de la forme [5]

 

  désigne la fonction de compte des nombres premiers. En général, on suppose ici l'hypothèse que la fonction f est continue et dérivable.

Autres identités de somme de diviseursModifier

Nous avons les formules de somme des diviseurs suivantes pour f toute fonction arithmétique et g complètement multiplicative  est la fonction indicatrice d'Euler et   est la fonction de Möbius[6],[7] :

  1.  
  2.  
  3.  
  4. Si f est complètement multiplicative, la multiplication ponctuelle   avec une convolution de Dirichlet donne   .
  5.  
  6. Si   et n a plus de m facteurs premiers distincts (en), alors  

Inverse d'une fonction arithmétique pour le produit de DirichletModifier

On adopte la notation   désignant l'identité multiplicative de la convolution de Dirichlet de sorte que   pour toute fonction arithmétique f et   . L'inverse d'une fonction arithmétique f (pour le produit de Dirichlet) satisfait   pour tout  . Il existe une formule de convolution récursive bien connue pour calculer l'inverse   d'une fonction f donnée sous la forme[8]

 

Pour une fonction fixée f, considérons la fonction  

Ensuite, on définit deux produits de convolution multiples (ou imbriquées) suivants pour toute fonction arithmétique fixée f :

 

La fonction  , définie ci-desus, est étroitement liée à l'inverse d'une fonction arbitraire f[9] .

 

En particulier, on peut prouver que [10]

 

Un tableau des valeurs de   pour   apparaît ci-dessous. Ce tableau précise la signification et l'interprétation de cette fonction comme étant la somme signée de toutes les k -convolutions multiples possibles de la fonction f avec elle-même.

n   n   n  
2   7   12  
3   8   13  
4   9   14  
5   10   15  
6   11   16  

Soit  p est la fonction de partition (en). Il existe une autre expression pour l'inverse donnée en fonction des fonctions ci-dessus et des coefficients du q-symbole de Pochhammer pour   donné par [9]

 

Notes et référencesModifier

  1. Voir aussi Section 3.10 dans Apostol.
  2. (en) Ernie Croot, « The Convolution Method of Evaluating Sums of Multiplicative Functions »,
  3. « Periodic Number-Theoretic Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255).
  4. Schramm, « The Fourier transform of functions of the greatest common divisors », Integers, vol. 8,‎
  5. See Section 2.2 in (en) Auteur inconnu, « Mertens' Proof of Mertens' Theorem », .
  6. Dans Apostol: Exercice 2.29, Théorème 2.18, et Exercices 2.31-2.32
  7. La première identité est une série de Dirichlet bien connue de la forme   cataloguée dans Gould et Shonhiwa, « A catalogue of interesting Dirichlet series », Miss. J. Math. Sci., vol. 20, no 1,‎ (lire en ligne [archive du ])
  8. Voir la Section 2.7 de l'ouvrage d'Apostol pour une preuve.
  9. a et b (en) Mircea Merca et Maxie D. Schmidt, « Factorization Theorems for Generalized Lambert Series and Applications », .
  10. This identity is proved in an unpublished manuscript by M. D. Schmidt which will appear on ArXiv in 2018.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Articles connexesModifier