Norme matricielle

Norme sur l'espace vectoriel des matrices

En mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices.

Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes.

DéfinitionModifier

Certains auteurs[1] définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel Mm,n(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K.

Pour d'autres[2], une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre Mn(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.

Exemples de normes matriciellesModifier

Norme de FrobeniusModifier

La norme de Frobenius sur  [3] est celle qui dérive du produit scalaire ou hermitien standard sur cet espace, à savoir

 ,

  désigne la matrice adjointe de   et   la trace. La norme de Frobenius est souvent notée

 .

C'est la norme euclidienne ou hermitienne standard de la matrice considérée comme une collection de   scalaires.

Si  , le point de vue précédent permet d'en déduire le sous-différentiel de la norme de Frobenius, qui s'écrit en   :

 .

En réalité,   est différentiable sauf en zéro où   est la boule unité pour la norme de Frobenius.

La norme de Frobenius n'est pas une norme subordonnée, parce que   (on a noté   l'opérateur identité sur  ), mais c'est une norme sous-multiplicative :  .

La norme de Frobenius peut s'étendre à un espace hilbertien (de dimension infinie) ; on parle alors de norme de Hilbert-Schmidt ou encore norme 2 de Schatten.

Normes d'opérateurModifier

On peut aussi voir une matrice A ∈ Mm,n(K) comme un opérateur linéaire de Kn dans Km et lui associer différents types de normes d'opérateur, à partir des normes utilisées sur Kn et Km. Par exemple, si l'on munit Km de la norme p et Kn de la norme q (avec p, q[1, ∞]), on obtient la norme d'opérateur

 .

En particulier, on note parfois

 ,

que l'on appelle parfois la norme spectrale ou encore norme de Schatten.

Norme nucléaireModifier

La norme duale de la norme spectrale   pour le produit scalaire ou hermitien standard de Mm,n(K), notée et définie par

 ,

porte différents noms : norme nucléaire ou norme de Ky Fan ou encore norme 1 de Schatten.

Normes de SchattenModifier

La norme p de Schatten (de), due à Robert Schatten, est définie en A ∈ Mm,n(K) par

 ,

  est le vecteur des valeurs singulières de  . Ces normes ont un lien avec les normes précédentes, puisque, quel que soit A ∈ Mm,n(K), on a[4],[5]

 

On déduit du lien entre les normes matricielles et les normes vectorielles de  , et les inégalités sur ces normes, que pour tout A ∈ Mm,n(K) :

 

  désigne le rang de  .

Ces inégalités montrent que le rang est minoré par la norme nucléaire sur la boule unité  . Plus précisément, on peut montrer que la plus grande fonction convexe fermée qui minore le rang sur   est la restriction à cette boule de la norme nucléaire.

Lorsque K est le corps des réels, cela revient, en notant   l'indicatrice de  , à dire que la biconjuguée de la fonction   est la fonction  [6],[7]. Sans restriction du rang à un ensemble, on obtient  , une identité de peu d'utilité.

PropriétésModifier

  • L'espace Mn(K), muni d'une norme sous-multiplicative (comme une norme d'opérateur ║∙║p,p), est un exemple d'algèbre de Banach.
  • Pour toute norme N sur Mn(K), l'application bilinéaire (A, B) ↦ AB étant continue (on est en dimension finie), on est assuré de l'existence d'une constante k > 0 telle que .Par suite, la norme kN est sous-multiplicative. Toute norme sur Mn(K) est donc proportionnelle à une norme d'algèbre.

Notes et référencesModifier

  1. A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, Méthodes Numériques : Algorithmes, analyse et applications, Springer, , 538 p. (ISBN 978-88-470-0495-5, lire en ligne), p. 22.
  2. M. Ghil et J. Roux, Mathématiques Appliquées aux sciences de la Vie et de la Planète : Cours et exercices corrigés, Dunod, , 400 p. (ISBN 978-2-10-056033-2, lire en ligne), p. 50.
  3. (en) Are Hjørungnes, Complex-Valued Matrix Derivatives : With Applications in Signal Processing and Communications, CUP, (lire en ligne), p. 121.
  4. (en) Terence Tao, Topics in Random Matrix Theory, coll. « GSM » (no 132), (lire en ligne), p. 47.
  5. (en) B. Recht, M. Fazel et P. Parrilo, « Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization », SIAM Review, vol. 53,‎ , p. 471-501 (DOI 10.1137/070697835).
  6. (en) M. Fazel, Matrix rank minimization with applications : PhD thesis, Stanford (Californie), Department of Electrical Engineering, université Stanford, .
  7. Cette propriété intervient dans les problèmes où l'on cherche à obtenir des objets parcimonieux par minimisation du rang (en compression d'images par exemple). Le rang étant une fonction à valeurs entières, donc difficile à minimiser, on préfère parfois considérer l'approximation convexe du problème qui consiste à y minimiser la norme nucléaire.