En mathématiques, les nombres de Lah, établis par Ivo Lah (en), permettent d’exprimer les factorielles croissantes en fonction des factorielles décroissantes et réciproquement.

Définitions

modifier

Les nombres de Lah (signés) L(n, k) (suite A008297 de l'OEIS) sont définis[1],[2],[3] par :

 

avec   la factorielle croissante et   la factorielle décroissante, d’où :

 .

On montre (voir section #Expression directe ci-dessous) que L(n, k) a pour signe (-1)n. De même que pour les nombres de Stirling de première espèce, la notation de Karamata–Knuth désigne la version non signée des nombres de Lah (suite A105278 de l'OEIS) :

 ,

d’où :

 .

Propriétés

modifier

Relation inverse

modifier
 .

Formule de récurrence

modifier
  avec   (symbole de Kronecker).

Expression directe

modifier
Pour ,  .

Donc L(n, k) a pour signe (-1)n, d’où l’expression de   ( suite A105278 de l'OEIS) :

 k
n 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1
1 0 1
2 0 2 1
3 0 6 6 1
4 0 24 36 12 1
5 0 120 240 120 20 1
6 0 720 1800 1200 300 30 1
7 0 5040 15120 12600 4200 630 42 1
8 0 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1
9 0 362880 1451520 1693440 846720 211680 28224 2016 72 1
10 0 3628800 16329600 21772800 12700800 3810240 635040 60480 3240 90 1

Involution

modifier
 

avec δn,k le symbole de Kronecker. La matrice des L(n, k) est donc involutive.

Autres propriétés

modifier

Les nombres de Lah non signés peuvent s’exprimer en fonction des nombres de Stirling   (de première espèce non signés) et   (de seconde espèce) :

 .

Ils peuvent également s’exprimer en fonction des polynômes de Bell :

 .

Dérivée de exp(1/x)

modifier

Les nombres de Lah permettent d'exprimer[4] la dérivée n-ème de   :

 

Application pratique récente

modifier

Ces dernières années, les nombres de Lah ont été utilisés en stéganographie pour cacher des données dans des images. Par rapport aux alternatives telles que la DCT, la DFT et la DWT, elle présente une complexité moindre —   — de calcul de leurs coefficients entiers[5],[6]. Les transformées de Lah et de Laguerre apparaissent naturellement dans la description perturbative de la dispersion chromatique[7],[8]. En optique de Lah-Laguerre, une telle approche accélère considérablement les problèmes d'optimisation.

Notes et références

modifier
  1. Lah 1954.
  2. Lah 1955.
  3. Riordan 2002, p. 43–44.
  4. (en) S. Daboul, J. Mandalgan, M. Z. Spivey, P. J. Taylor, « The Lah Numbers and the nth Derivative of e1/x », Math. Mag, vol. 86, no 1,‎ , p. 39-47 (DOI 10.4169/math.mag.86.1.039)
  5. Sudipta Kr Ghosal, Souradeep Mukhopadhyay, Sabbir Hossain et Ram Sarkar, « Application of Lah Transform for Security and Privacy of Data through Information Hiding in Telecommunication », Transactions on Emerging Telecommunications Technologies, vol. 32, no 2,‎ (DOI 10.1002/ett.3984, S2CID 225866797)
  6. « Image Steganography-using-Lah-Transform », sur MathWorks
  7. Dimitar Popmintchev, Siyang Wang, Zhang Xiaoshi, Ventzislav Stoev et Tenio Popmintchev, « Analytical Lah-Laguerre optical formalism for perturbative chromatic dispersion », Optics Express, vol. 30, no 22,‎ , p. 40779–40808 (PMID 36299007, DOI 10.1364/OE.457139  , Bibcode 2022OExpr..3040779P)
  8. (en) Dimitar Popmintchev, Siyang Wang, Zhang Xiaoshi, Ventzislav Stoev et Tenio Popmintchev, « Theory of the Chromatic Dispersion, Revisited », .

Voir aussi

modifier

Bibliographie

modifier
  • (en) Ivo Lah, « A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics », Boletim do Instituto dos Actuários Portugueses, Lisbonne, Instituto dos Actuários Portugueses, vol. 9,‎ , p. 7–15 (ISSN 0443-4986, résumé).
  • (de) Ivo Lah, « Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften und Anwendung in der mathematischen Statistik », Mitteilungsblatt für Mathematische Statistik, Wurtzbourg, Physica-Verlag, vol. 7,‎ , p. 203–212 (ISSN 0176-5531).
  • (en) John Riordan, Introduction to Combinatorial Analysis, Dover Publications, (1re éd. 1958), 256 p. (ISBN 978-0-486-42536-8, lire en ligne).

Articles connexes

modifier