En mathématiques , et plus précisément en combinatoire , un polynôme de Bell , nommé ainsi d'après le mathématicien
Eric Temple Bell , est défini par:
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
=
∑
n
!
j
1
!
j
2
!
⋯
j
n
−
k
+
1
!
(
x
1
1
!
)
j
1
(
x
2
2
!
)
j
2
⋯
(
x
n
−
k
+
1
(
n
−
k
+
1
)
!
)
j
n
−
k
+
1
{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}}
où la somme porte sur toutes les suites j 1 , j 2 , j 3 , …, j n −k +1
j
1
+
j
2
+
⋯
+
j
n
−
k
+
1
=
k
{\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k}
j
1
+
2
j
2
+
3
j
3
+
⋯
+
(
n
−
k
+
1
)
j
n
−
k
+
1
=
n
{\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n}
La somme
B
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
est parfois appelée n -ème polynôme de Bell complet , et alors les polynômes B n , k B n déterminant d’une matrice :
B
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
|
(
0
0
)
x
1
(
1
0
)
x
2
(
2
0
)
x
3
(
3
0
)
x
4
⋯
(
n
−
2
0
)
x
n
−
1
(
n
−
1
0
)
x
n
−
1
(
1
1
)
x
1
(
2
1
)
x
2
(
3
1
)
x
3
⋯
(
n
−
2
1
)
x
n
−
2
(
n
−
1
1
)
x
n
−
1
0
−
1
(
2
2
)
x
1
(
3
2
)
x
2
⋯
(
n
−
2
2
)
x
n
−
3
(
n
−
1
2
)
x
n
−
2
0
0
−
1
(
3
3
)
x
1
⋯
(
n
−
2
3
)
x
n
−
4
(
n
−
1
3
)
x
n
−
3
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
⋮
⋮
0
0
0
0
⋯
(
n
−
2
n
−
2
)
x
1
(
n
−
1
n
−
2
)
x
2
0
0
0
0
⋯
−
1
(
n
−
1
n
−
1
)
x
1
|
=
|
(
j
−
1
i
−
1
)
x
j
−
i
+
1
−
δ
j
−
i
+
1
|
{\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}{0 \choose 0}x_{1}&{1 \choose 0}x_{2}&{2 \choose 0}x_{3}&{3 \choose 0}x_{4}&\cdots &{n-2 \choose 0}x_{n-1}&{n-1 \choose 0}x_{n}\\\\-1&{1 \choose 1}x_{1}&{2 \choose 1}x_{2}&{3 \choose 1}x_{3}&\cdots &{n-2 \choose 1}x_{n-2}&{n-1 \choose 1}x_{n-1}\\\\0&-1&{2 \choose 2}x_{1}&{3 \choose 2}x_{2}&\cdots &{n-2 \choose 2}x_{n-3}&{n-1 \choose 2}x_{n-2}\\\\0&0&-1&{3 \choose 3}x_{1}&\cdots &{n-2 \choose 3}x_{n-4}&{n-1 \choose 3}x_{n-3}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &{n-2 \choose n-2}x_{1}&{n-1 \choose n-2}x_{2}\\\\0&0&0&0&\cdots &-1&{n-1 \choose n-1}x_{1}\end{vmatrix}}=\left|{j-1 \choose i-1}x_{j-i+1}-\delta _{j-i+1}\right|}
avec δ k symbole de Kronecker .
La matrice dont B n matrice de Hessenberg .
Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait j 1 fois, "2" apparait j 2 fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme.
Par exemple, nous avons :
B
6
,
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
=
6
x
5
x
1
+
15
x
4
x
2
+
10
x
3
2
{\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}
car il y a :
6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ;
15 partitions de la forme 4 + 2 ;
10 partitions de la forme 3 + 3. De même :
B
6
,
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
=
15
x
4
x
1
2
+
60
x
3
x
2
x
1
+
15
x
2
3
{\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}
car il y a :
15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ;
60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ;
15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.
B
n
+
1
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
+
1
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
B
n
−
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
)
x
k
+
1
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
B
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
k
)
x
n
−
k
+
1
{\displaystyle B_{n+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n+1})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k})\,x_{k+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\,x_{n-k+1}}
avec B 0 = 1
Démonstration
La matrice
(
(
j
−
1
i
−
1
)
x
j
−
i
+
1
−
δ
j
−
i
+
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{j-1 \choose i-1}x_{j-i+1}-\delta _{j-i+1}\end{pmatrix}}}
matrice de Hessenberg , on peut développer son déterminant selon la dernière colonne, donnant la formule de récurrence.
B
n
,
k
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
{
n
k
}
{\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)={\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}}
B
n
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
B
n
{\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=B_{n}}
Démonstration
B
n
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
∑
k
=
1
n
{
n
k
}
=
B
n
{\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}=B_{n}}
B
n
,
k
(
0
!
,
1
!
,
…
,
(
n
−
k
)
!
)
=
[
n
k
]
{\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}}
B
n
,
k
(
1
!
,
2
!
,
…
,
(
n
−
k
+
1
)
!
)
=
⌊
n
k
⌋
{\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)=\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor }
B
n
(
0
,
1
,
…
,
n
−
1
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle B_{n}(0,1,\dots ,n-1)=(n-1)!}
n ≥ 1
B
n
(
0
!
,
1
!
,
…
,
(
n
−
1
)
!
)
=
n
!
{\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=n!}
B
n
(
−
0
!
,
−
1
!
,
…
,
−
(
n
−
1
)
!
)
=
0
{\displaystyle B_{n}(-0!,-1!,\dots ,-(n-1)!)=0}
B
n
,
1
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
n
{\displaystyle B_{n,1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{n}}
∀
k
>
1
,
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
,
x
n
−
k
+
2
,
…
,
x
n
)
=
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
=
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle \forall k>1,B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1},x_{n-k+2},\dots ,x_{n})=B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1},0,\dots ,0)}
B
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
,
x
n
)
=
B
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
,
0
)
+
x
n
{\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1},x_{n})=B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1},0)+x_{n}}
B
n
(
x
1
+
y
1
,
x
2
+
y
2
,
…
,
x
n
+
y
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
B
n
−
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
)
B
k
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
k
)
{\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k})B_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k})}
avec B 0 = 1
Soit f a réciproque f -1
y
n
=
∑
k
=
1
n
[
f
]
x
=
a
(
k
)
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
⇔
x
n
=
∑
k
=
1
n
[
f
−
1
]
x
=
f
(
a
)
(
k
)
B
n
,
k
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}[f]_{x=a}^{(k)}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}[f^{-1}]_{x=f(a)}^{(k)}B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}
[ 1] En prenant f (x ) = ex f –1 (x ) = ln(x )
[
f
]
x
=
0
(
k
)
=
1
{\displaystyle [f]_{x=0}^{(k)}=1}
[
f
−
1
]
x
=
f
(
0
)
(
k
)
=
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
{\displaystyle [f^{-1}]_{x=f(0)}^{(k)}=(-1)^{k-1}(k-1)!}
d’où :
y
n
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
⇔
x
n
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
B
n
,
k
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}
soit :
x
n
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
B
n
,
k
[
B
1
(
x
1
)
,
B
2
(
x
1
,
x
2
)
,
…
,
B
n
−
k
+
1
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
]
{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]}
f (x ) = x α α ≠ 0f –1 (x ) = x 1/α
[
f
]
x
=
1
(
k
)
=
α
k
_
{\displaystyle [f]_{x=1}^{(k)}=\alpha ^{\underline {k}}}
[
f
−
1
]
x
=
f
(
1
)
(
k
)
=
(
1
α
)
k
_
{\displaystyle [f^{-1}]_{x=f(1)}^{(k)}=\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}}
avec .k la factorielle décroissante , d’où :
y
n
=
∑
k
=
1
n
α
k
_
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
⇔
x
n
=
∑
k
=
1
n
(
1
α
)
k
_
B
n
,
k
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}
∀
(
a
,
b
)
∈
N
2
,
∑
k
=
1
n
a
k
_
B
n
,
k
(
b
1
_
,
b
2
_
,
…
,
b
n
_
)
=
(
a
b
)
k
_
{\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2},\sum _{k=1}^{n}a^{\underline {k}}B_{n,k}(b^{\underline {1}},b^{\underline {2}},\dots ,b^{\underline {n}})=(ab)^{\underline {k}}}
[ 2] avec .k la factorielle décroissante .
Cas général
B
n
,
k
(
α
β
x
1
,
α
β
2
x
2
,
…
,
α
β
n
−
k
+
1
x
n
−
k
+
1
)
=
α
k
β
n
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n,k}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\dots ,\alpha \beta ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{k}\beta ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
Cas particuliers
B
n
,
k
(
α
x
1
,
α
x
2
,
…
,
α
x
n
−
k
+
1
)
=
α
k
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n,k}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n-k+1})=\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
B
n
,
k
(
α
x
1
,
α
2
x
2
,
…
,
α
n
−
k
+
1
x
n
−
k
+
1
)
=
α
n
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n,k}(\alpha x_{1},\alpha ^{2}x_{2},\dots ,\alpha ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
Cas général
B
n
(
α
β
x
1
,
α
β
2
x
2
,
…
,
α
β
n
x
n
)
=
β
n
∑
k
=
1
n
α
k
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\dots ,\alpha \beta ^{n}x_{n})=\beta ^{n}\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
Cas particuliers
B
n
(
α
x
1
,
α
x
2
,
…
,
α
x
n
)
=
∑
k
=
1
n
α
k
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
B
n
(
α
x
1
,
α
2
x
2
,
…
,
α
n
x
n
)
=
α
n
B
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha ^{2}x_{2},\dots ,\alpha ^{n}x_{n})=\alpha ^{n}B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
Autre expression
B
n
(
α
x
1
,
α
x
2
,
…
,
α
x
n
)
=
∑
k
=
1
n
α
k
_
B
n
,
k
[
B
1
(
x
1
)
,
B
2
(
x
1
,
x
2
)
,
…
,
B
n
−
k
+
1
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
]
{\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]}
avec .k la factorielle décroissante .
Pour des suites x n y n n = 1, 2, …, on peut définir un produit de convolution par :
(
x
♢
y
)
n
=
∑
j
=
1
n
−
1
(
n
j
)
x
j
y
n
−
j
{\displaystyle (x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}}
(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n ).
Soit
x
n
k
♢
{\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }}
n -ème terme de la suite
x
♢
⋯
♢
x
⏟
k
f
a
c
t
e
u
r
s
{\displaystyle \displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {facteurs} }}
Alors :
B
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
=
x
n
k
♢
k
!
{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}}
La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :
d
n
d
x
n
f
(
g
(
x
)
)
=
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
(
g
(
x
)
)
B
n
,
k
(
g
′
(
x
)
,
g
″
(
x
)
,
…
,
g
(
n
−
k
+
1
)
(
x
)
)
{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)}
De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que
f
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
!
x
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}
g
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
b
n
n
!
x
n
{\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}
Alors :
g
(
f
(
x
)
)
=
∑
n
=
1
∞
∑
k
=
1
n
b
k
B
n
,
k
(
a
1
,
…
,
a
n
−
k
+
1
)
n
!
x
n
{\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}}
Les polynômes de Bell complets apparaissent dans l’exponentielle d’une série formelle :
exp
(
∑
n
=
1
∞
a
n
n
!
x
n
)
=
∑
n
=
0
∞
B
n
(
a
1
,
…
,
a
n
)
n
!
x
n
{\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}}
Pour une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre r existe , on a :
m
r
=
B
r
(
κ
1
,
κ
2
,
…
,
κ
r
)
{\displaystyle m_{r}=B_{r}(\kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{r})}
avec m r moment ordinaire d’ordre r κ 1 , κ 2 , …, κ r cumulants d’ordre 1 à r
modifier
Pour toute suite a 1 , a 2 , a 3 , … de scalaires, soit :
p
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
a
1
,
…
,
a
n
−
k
+
1
)
x
k
{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}
Cette suite de polynômes est de type binomial , c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale suivante :
p
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
p
k
(
x
)
p
n
−
k
(
y
)
{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}
pour n ≥ 0.
En fait, on a également la réciproque :
Théorème — Toutes les suites de polynômes de type binomial peuvent s’exprimer sous la forme faisant intervenir les polynômes de Bell.
Si nous posons
h
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
!
x
n
{\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}
en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n :
h
−
1
(
d
d
x
)
p
n
(
x
)
=
n
p
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle h^{-1}\left({\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
↑ (en) W.-S. Chaou, Leetsch C. Hsu, Peter J.-S. Shiue, “Application of Faà di Bruno’s formula in characterization of inverse relations ”, dans Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 190, 2006, p. 151–169↑ (en) Andrzej Korzeniowski, “Binomial Tails Domination for Random Graphs via Bell Polynomials ”, dans JPSS , vol. 4, n° 1, 2006, p. 99-105 (en) Eric Temple Bell , « Partition Polynomials », Ann. Math. vol. 29, nos 1/4, 1927-1928, p. 38-46 (DOI 10.2307/1967979 (en) Louis Comtet , Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions , Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland/Boston-U.S., 1974(en) Steven Roman (en) The Umbral Calculus , Dover Publications 
![{\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}[f]_{x=a}^{(k)}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}[f^{-1}]_{x=f(a)}^{(k)}B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f686c9de55aa7a8654b76f0b50306ffdc5a1882)
![{\displaystyle [f]_{x=0}^{(k)}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5483e67647dfeed814c7f2d45ec593259f53a1f)
![{\displaystyle [f^{-1}]_{x=f(0)}^{(k)}=(-1)^{k-1}(k-1)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82180500cde8c4c46b18950f626718b9c17caf3)
![{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61f83b0986946659b8a0cf48ed79fea30a9beb5)
![{\displaystyle [f]_{x=1}^{(k)}=\alpha ^{\underline {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3422af05f8a535dcfbcc2375ca38e103aae742c)
![{\displaystyle [f^{-1}]_{x=f(1)}^{(k)}=\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d4d0cbc689cf49aea3a7029efd03806bec2713)
![{\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea5daf529a20a5d6685577948a78d93328e64c8)
