En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, un polynôme de Bell, nommé ainsi d'après le mathématicien Eric Temple Bell, est défini par:

où la somme porte sur toutes les suites j1, j2, j3, …, jnk+1 d'entiers naturels telles que :

et

Polynômes de Bell completsModifier

La somme

 

est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes Bnk définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell « partiels ». Les polynômes de Bell complets Bn peuvent être exprimés par le déterminant d’une matrice :

 

avec δk le symbole de Kronecker. La matrice dont Bn est le déterminant est une matrice de Hessenberg.

Interprétation combinatoireModifier

Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait j1 fois, "2" apparait j2 fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme.

ExemplesModifier

Par exemple, nous avons :

 

car il y a :

  • 6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ;
  • 15 partitions de la forme 4 + 2 ;
  • 10 partitions de la forme 3 + 3.

De même :

 

car il y a :

  • 15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ;
  • 60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ;
  • 15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.

PropriétésModifier

Formule de récurrenceModifier

 
avec B0 = 1.

Nombre de Stirling de seconde espèceModifier

 

Nombre de BellModifier

 

Nombre de Stirling de première espèce (non signés)Modifier

 

Nombre de LahModifier

 

FactorielleModifier

  pour n ≥ 1.
 
 

Dernier argumentModifier

  •  
  •  
  •  

Type binomialModifier

 

avec B0 = 1.

RéciproqueModifier

Soit f une fonction infiniment dérivable en un point a et de réciproque f -1, alors :

 [1]

Cas particuliersModifier

En prenant f (x) = ex (soit f –1(x) = ln(x)) infiniment dérivable en 0, on a :

  •  
  •  

d’où :

 

soit :

 


En prenant f (x) = xα avec α ≠ 0 (soit f –1(x) = x1/α) infiniment dérivable en 1, on a :

  •  
  •  

avec .k la factorielle décroissante, d’où :

 

Factorielle décroissanteModifier

 [2]

avec .k la factorielle décroissante.

Comportement d’échelleModifier

Polynômes de Bell partielsModifier

Cas général
 
Cas particuliers
 
 

Polynômes de Bell completsModifier

Cas général
 
Cas particuliers
 
 
Autre expression
 

avec .k la factorielle décroissante.

Identité de convolutionModifier

Pour des suites xn, yn, n = 1, 2, …, on peut définir un produit de convolution par :

 

(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).

Soit   le n-ème terme de la suite  

Alors :

 

ApplicationsModifier

Formule de Faà di BrunoModifier

La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :

 

De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que

  et  

Alors :

 

Les polynômes de Bell complets apparaissent dans l’exponentielle d’une série formelle (en) :

 

Moments et cumulantsModifier

Pour une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre r existe, on a :

 

avec mr le moment ordinaire d’ordre r et κ1, κ2, …, κr les cumulants d’ordre 1 à r.

Représentations de suites polynomialesModifier

Pour toute suite a1, a2, a3, … de scalaires, soit :

 

Cette suite de polynômes est de type binomial (en), c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale suivante :

 

pour n ≥ 0.

En fait, on a également la réciproque :

Théorème
Toutes les suites de polynômes de type binomial peuvent s’exprimer sous la forme faisant intervenir les polynômes de Bell.

Si nous posons

 

en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n :

 

Notes et référencesModifier

  1. (en) W.-S. Chaou, Leetsch C. Hsu, Peter J.-S. Shiue, “Application of Faà di Bruno’s formula in characterization of inverse relations”, dans Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 190, 2006, p. 151–169
  2. (en) Andrzej Korzeniowski, “Binomial Tails Domination for Random Graphs via Bell Polynomials”, dans JPSS, vol. 4, n° 1, 2006, p. 99-105

Articles connexesModifier