En mathématiques, et notamment en combinatoire, les nombres de Delannoy dénombrent les chemins joignant deux points d'un réseau carré, en pas horizontaux, verticaux, et aussi diagonaux. Ils sont ainsi nommés en l'honneur de l'officier français, mathématicien amateur et aussi historien Henri Auguste Delannoy[1]. Ce dernier a présenté ce problème comme recherche de dénombrement de chemins parcourus par la reine dans un échiquier[2].

Les D(3)=63 chemins de Delannoy joignant (0,0) à (3,3).

Définitions et valeurs particulières

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Première définition combinatoire

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Le nombre de Delannoy   est le nombre de chemins de   joignant le point   au point   en utilisant des pas élémentaires de direction nord (ajout de  ), nord-est (ajout de  ), et est (ajout de  ).

Notons que  , le coefficient binomial ne comptant que les chemins prenant des directions est et nord.

  est aussi le nombre de chemins de   joignant le point   au point   en utilisant des pas élémentaires de direction nord-est (ajout de  ), sud-est (ajout de  ), et des pas doubles de direction est (ajout de  ).

 
Les D(2,2)=13 points entiers dans le carré d'équation  .

Deuxième définition combinatoire

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  est le nombre de points du réseau   situés à une distance d'au plus   pas de l'origine[3], autrement dit, le nombre de points à coordonnées entières de l'hyperoctaèdre plein  . On a donc ici un exemple de généralisation en dimensions supérieures du concept de nombre figuré (tel qu'étudié notamment par Pythagore et Pascal), les nombres de Delannoy correspondant en l'occurrence à des "nombres hyperoctaédriques centrés"[4].

Définitions combinatoires des nombres de Delannoy « centraux »

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Tout comme les nombres de Catalan, de Motzkin, de Fibonacci, etc., les nombres de Delannoy apparaissent dans de nombreux problèmes. On trouvera notamment dans l'article de Sulanke[5] 29 définitions combinatoires différentes des nombres de Delannoy « centraux »  . Cette ubiquité s'explique en partie par des définitions récursives assez naturelles, et donc promptes à apparaître dans diverses situations.

Définition récursive 1

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Par la première définition, on obtient la définition récursive :

  pour  

et, pour   :

 , ce qui permet d'obtenir la ligne   de proche en proche, connaissant la ligne  .

Définition récursive 2

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Par la deuxième définition, ou en conséquence de la précédente, on obtient la définition récursive[6] :

  pour  

et, pour   :

 

ce qui permet d'obtenir la ligne   connaissant la ligne  .

Premières valeurs

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n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 3 5 7 9 11 13 15 17
2 1 5 13 25 41 61 85 113 145
3 1 7 25 63 129 231 377 575 833
4 1 9 41 129 321 681 1289 2241 3649
5 1 11 61 231 681 1683 3653 7183 13073
6 1 13 85 377 1289 3653 8989 19825 40081
7 1 15 113 575 2241 7183 19825 48639 108545
8 1 17 145 833 3649 13073 40081 108545 265729
9 1 19 181 1159 5641 22363 75517 224143 598417
Voir la suite A008288 de l'OEIS.
La diagonale du tableau donne les nombres de Delannoy centraux  , dénombrant les chemins de   à   ; les premières valeurs en sont :
1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, ... ; voir la suite A001850 de l'OEIS.

Triangle de Delannoy

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Comme pour le triangle de Pascal, on peut aussi disposer les nombres de Delannoy en triangle. La ligne   du triangle est constituée des nombres   pour  , vérifiant  pour   ; chaque terme est la somme de trois termes : les deux termes situés juste au-dessus de lui et un troisième situé deux-lignes au-dessus (par exemple 25=13+7+5, comme illustré en couleur dans la figure suivante).

            1
          1   1
        1   3   1
      1   5   5   1
    1   7  13   7   1
  1   9  25  25   9   1
1  11  41  63  41  11   1

Propriétés du triangle de Delannoy

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  • Symétrie :

 

  • Formules par lignes du tableau ou diagonales du triangle :

 

  (nombres carrés centrés, suite A001844 de l'OEIS)

  (nombres octaédriques centrés, suite A001845 de l'OEIS)

  (nombres 4-hyperoctaédriques centrés, suite A001846 de l'OEIS)[4]

  (nombres 5-hyperoctaédriques centrés, suite A001847 de l'OEIS)[4]

  (nombres 6-hyperoctaédriques centrés, suite A001848 de l'OEIS)[4]

Pour   fixé,   est un polynôme en   de degré   et de coefficient dominant  .

  • Formules closes :
 

  est une fonction hypergéométrique.

Justification de la première formule : la liste des pas successifs d'un chemin possédant   pas diagonaux possède forcément   pas horizontaux et   pas verticaux. Le dénombrement de ces listes est donc donné par le coefficient multinomial  .

 [7]
 [6]
  • Sommes de diagonales montantes du tableau (i.e., sommes des lignes du triangle) :

   est la suite de Pell

Plus généralement les polynômes   vérifient la relation de récurrence  .

  • Sommes de diagonales "super-montantes" du tableau (i.e., sommes des diagonales montantes du triangle) :

   est la suite de Tribonacci (d'où le nom de triangle de Tribonacci donné au triangle de Delannoy dans[8]),

formule à mettre en parallèle avec celle concernant le triangle de Pascal :  

  • Les nombres de Delannoy sont reliés au nombre   ; les valeurs de la ligne   de leur tableau interviennent en effet dans la formule d'accélération de convergence suivante (voir  A001850) :
 .
Pour  , on obtient par exemple :
 
et pour   :
 

Propriétés des nombres de Delannoy centraux

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 .
  • Expression polynomiale :
 

  est le polynôme de Legendre[9] d'ordre  .

 
  • Formule close :
 
  • Évaluation asymptotique :
 

  et  .

Pages connexes

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  • Nombres de Motzkin dénombrant les chemins reliant le point   au point  , constitués de pas élémentaires nord-est (ajout de  ), sud-est (ajout de  ) ou est (ajout de  ) et restant au-dessus de l'axe horizontal.
  • Nombres de Narayana
  • Nombres hyperoctaédriques (non centrés), ayant même relation de récurrence que les nombres de Delannoy
  • Triangle de Rascal (dont la formule de récurrence fait intervenir les mêmes termes que pour le triangle de Delannoy)

Notes et références

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  1. Banderier et Schwer 2005.
  2. H. Delannoy, « Emploi de l’échiquier pour la résolution de certains problèmes de probabilités », Comptes-Rendus du Congrès annuel de l’Association Française pour l’Avancement des Sciences, 24, Bordeaux,‎ , p. 76 (lire en ligne)
  3. (en) Sebastian Luther, Stephan Mertens, « Counting lattice animals in high dimensions », Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment,‎ (lire en ligne)
  4. a b c et d (en) Elena Deza et Michel Marie Deza, Figurate Numbers, World Scientific, (lire en ligne), p. 229-231.
  5. (en) Robert A. Sulanke, « Objects counted by the central Delannoy numbers », Journal of Integer Sequences, Vol. 6,‎ (lire en ligne)
  6. a et b (en) Sebastian Luther, Stephan Mertens, « Counting lattice animals in high dimensions », Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment,‎ , p. 4 (lire en ligne)
  7. Comtet 1970, p. 94.
  8. (en) K. Alladi, V. E. Hoggatt Jr., « On tribonacci numbers and related functions », Fibonacci Quart. 15,‎ , p. 42-45 (lire en ligne)
  9. Moser 1955, Comtet 1974, p. 81, Vardi 1991.

Références

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Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Delannoy Number », sur MathWorld