Nombre carré centré

type de nombre polygonal centré

Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un carré avec un point placé en son centre et tous les autres points disposés en carrés concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. :

Pour tout entier n > 0, le n-ième nombre carré est donc 1 + 4 fois la somme des entiers de 1 à n – 1 :

Liste de nombres carrés centrésModifier

Les seize premiers nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421 et 481 (suite A001844 de l'OEIS).

PropriétésModifier

  • L'écriture du n-ième nombre carré centré sous la forme ci-dessus (1 + 4 fois le nombre triangulaire d'indice n – 1) peut se représenter par :
  • Le n-ième nombre carré centré est la somme des deux nombres carrés consécutifs n2 et (n – 1)2 :
  • Les nombres carrés centrés peuvent donc aussi s'écrire sous la forme :
     
    La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3 et 4. La figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points, à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.
    [réf. souhaitée]
     
   
   
     
     
     
     
     
       
       
       
       
       
       
       
       

Nombre carré centré premierModifier

Un nombre premier p est carré centré si et seulement si 2p – 1 est un carré parfait m2. Les dix plus petits tels p sont 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613 et 761 ( A027862) et les dix valeurs correspondantes de m sont 3, 5, 9, 11, 15, 19, 25, 29, 35 et 39 ( A002731).

Voir aussiModifier

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