Nombre carré centré

type de nombre polygonal centré

Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un carré avec un point placé en son centre et tous ses autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. Ainsi, le n-ième carré centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté :

Square number 1 with gnomon.svg

C4,1 = 1

        Centered square number 5 emanating from 1.svg

C4,2 = 1 + 4 = 5

        Centered square number 13 emanating from 5.svg

C4,3 = 5 + 8 = 13

        Centered square number 25 emanating from 13.svg

C4,4 = 13 + 12 = 25

Relation de récurrence et formule expliciteModifier

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième carré centré a un point central et n – 1 couches carrées.
Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième carré centré comporte 4(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième carré centré, et faisant passer au n-ième :

 

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré égale donc 1 plus 4 fois la somme des entiers de 0 à n – 1 :

 

ExempleModifier

 
Représentation du quatrième nombre carré centré.

Le quatrième nombre carré centré est :

 

Liste de nombres carrés centrésModifier

Les dix premiers nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 (voir la suite A001844 de l'OEIS).

Relations avec les nombres triangulairesModifier

  • D'après son expression ci-dessus, le n-ième nombre carré centré égale 1 plus 4 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire Tn–1 = n(n – 1)/2 :
     
    Cette égalité peut se représenter par :
  • Pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs Tn–2, Tn–1, Tn, affectés des coefficients 1, 2, 1 :
 
Le cas C4,2 = T0 + 2T1 + T2 = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :
  • 1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire. En effet, pour tout entier n ≥ 2,  .[pertinence contestée]

Relations avec les nombres carrésModifier

  • Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré est la somme des deux nombres carrés consécutifs n2 et (n – 1)2 :
  • Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré peut donc aussi s'écrire sous la forme :
     
    (trinôme du second degré sous forme canonique).
    Un entier c est donc carré centré si et seulement si 2c – 1 est un carré parfait. La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3, et 4 ; la n-ième figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points : à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.[réf. souhaitée]
     
   
   
     
     
     
     
     
       
       
       
       
       
       
       
       

Propriétés de congruenceModifier

  • Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du n-ième nombre carré centré suit le motif « 1-5-3-5-1 ».
  • Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier p de 2n2 – 2n + 1, p est impair, et modulo p, puisque (n – 1)2 est congru à –n2, –1 est un résidu quadratique ; donc modulo 4, p est congru à 1.) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.

Nombre carré centré premierModifier

Les dix plus petits entiers qui sont à la fois premiers et carrés centrés sont 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761 ( A027862).

Voir aussiModifier

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