Nombre carré centré

type de nombre polygonal centré

Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un carré avec un point placé en son centre et tous ses autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. :

Square number 1 with gnomon.svg

C4,1 = 1

        Centered square number 5 emanating from 1.svg

C4,2 = 1 + 4 = 5

        Centered square number 13 emanating from 5.svg

C4,3 = 5 + 8 = 13

        Centered square number 25 emanating from 13.svg

C4,4 = 13 + 12 = 25

Centered square number 25.svg

C4,4 = 1 + 4 + 8 + 12 = 1 + 4×1 + 4×2 + 4×3 = 1 + 4×(1 + 2 + 3) = 25.

PropriétésModifier

 
Ainsi, le n-ième carré centré a n points sur chaque côté.
 
Tn–1 = n(n – 1)/2 est le (n – 1)-ième nombre triangulaire, en particulier : T0 = 0.
L'égalité C4,n = 1 + 4·Tn–1 peut se représenter par :
  • Pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs Tn–2 , Tn–1 , Tn , affectés des coefficients 1, 2, 1 :
 
Le cas C4,2 = T0 + 2·T1 + T2 = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :
1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire.
  • Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré est la somme des deux nombres carrés consécutifs n2 et (n – 1)2 :
  • Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré peut donc aussi s'écrire sous la forme :
     
    (trinôme du 2nd degré sous forme canonique).
    La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3, et 4 ; la n-ième figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points, à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.
    [réf. souhaitée]
     
   
   
     
     
     
     
     
       
       
       
       
       
       
       
       

Listes de nombres carrés centrésModifier

Les nombres carrés centrés inférieurs à 1000 sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, et 925 (voir la suite A001844 de l'OEIS).

Les dix plus petits nombres à la fois carrés centrés et carrés parfaits sont :

C4;1 = 1 = 12 ; C4;4 = 25 = 52 ; C4;21 = 841 = 292 ; C4;120 = 28 561 = 1692 ; C4;697 = 970 225 = 9852 ; C4;4 060 = 32 959 081 = 5 7412 ; C4;23 661 = 1 119 638 521 = 33 4612 ; C4;137 904 = 38 034 750 625 = 195 0252 ; C4;803 761 = 1 292 061 882 721 = 1 136 6892 ; et C4;4 684 660 = 43 892 069 261 881 = 6 625 1092 (voir la suite A008844 de l'OEIS).

Nombre carré centré premierModifier

Un nombre premier p est carré centré si et seulement si 2p – 1 est un carré parfait, m2. Les dix plus petits tels p sont :

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, et 761 (voir la suite A027862 de l'OEIS).

(Les dix valeurs correspondantes de m sont :

3, 5, 9, 11, 15, 19, 25, 29, 35, et 39 ( A002731).)

Voir aussiModifier

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