Variation totale d'une fonction

mesure du comportement d'oscillation locale d'une fonction

En mathématiques, la variation totale est liée à la structure (locale ou globale) du codomaine d'une fonction.

Alors que le point vert se déplace sur le graphe de la fonction donnée, la longueur du chemin parcourue par la projection sur l'axe y de ce déplacement, ici montré par un point rouge, représente la variation totale de la fonction.

Pour une fonction continue à valeurs réelles f, définie sur un intervalle [a, b] ⊂ ℝ, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la longueur d'arc de la courbe d'équation xf(x), pour x ∈ [a, b].

Note historiqueModifier

L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par Camille Jordan[1], afin de démontrer un théorème de convergence pour les séries de Fourier de fonctions discontinues périodiques à variation bornée. L'extension du concept aux fonctions de plusieurs variables n'est pas si simple.

DéfinitionModifier

Fonctions d'une variable réelleModifier

La variation totale d'une fonction d'une variable réelle (ou complexe) f, définie sur un intervalle   est donnée par :

 

où le supremum vaut sur l'ensemble des partitions   de l'intervalle donné.

Fonctions de plusieurs variables réellesModifier

Soit Ω un sous-ensemble ouvert de ℝn. Pour une fonction f dans L1(Ω), la variation totale de f sur Ω est définie par :

 

  est l'ensemble des fonctions à valeurs vectorielles continûment différentiables à support compact contenu dans Ω, et   est la norme liée à la borne supérieure essentielle. On remarquera qu'il n'est pas utile ici d'avoir un domaine   borné.

PropriétésModifier

Variation totale de fonctions différentiablesModifier

La variation totale d'une fonction différentiable peut être donnée par une intégrale dépendant de la fonction plutôt que la borne supérieure de fonctionnelles comme vu auparavant.

Variation totale d'une fonction d'une variable réelle dérivableModifier

La variation totale d'une fonction dérivable f, définie sur un intervalle réel [a , b], peut être exprimée ainsi si sa dérivée f' est Riemann-intégrable

 

Variation totale d'une fonction de plusieurs variables réelles différentiableModifier

Soit une fonction f définie et différentiable sur un ensemble ouvert borné  , la variation totale de f est alors donnée par

 

  désigne la norme l2.

On dit que f est à variation bornée si sa variation totale est finie.

ApplicationsModifier

La variation totale peut être vue comme une fonctionnelle positive d'une variable réelle (pour le cas à une seule variable) ou sur l'espace des fonctions intégrables (pour le cas à plusieurs variables). Comme fonctionnelle, la variation totale trouvent plusieurs applications en mathématiques et ingénierie, comme le contrôle optimal, l'analyse numérique, ou le calcul variationnel, où la solution d'un problème doit être à variation totale minimale. On pourra citer deux types de problèmes courants :

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Total variation » (voir la liste des auteurs).
  1. Camille Jordan, « Sur la série de Fourier », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 92,‎ , p. 228-230 (zbMATH 13.0184.01, lire en ligne), selon (en) B. I. Golubov, « Variation of a function », sur Encyclopædia of Mathematics.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Liens externesModifier

ApplicationsModifier

  • (en) Vincent Caselles, Antonin Chambolle et Matteo Novaga, « The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions », Multiscale Modeling and Simulation, SIAM, vol. 6, no 3,‎ (« lire en ligne »(Archive.orgWikiwixArchive.isGoogleQue faire ?)) (application de la variation totale en débruitage pour le traitement de l'image).
  • (en) Leonid I. Rudin, Stanley Osher et Emad Fatemi, « Nonlinear total variation based noise removal algorithms », Physica D: Nonlinear Phenomena, no 60.1,‎ , p. 259-268 (DOI 10.1016/0167-2789(92)90242-F).
  • (en) Peter Blomgren et Tony F. Chan, « Color TV: total variation methods for restoration of vector-valued images », Image Processing, IEEE Transactions, vol. 7, no 3,‎ , p. 304-309 (DOI 10.1109/83.661180).
  • (en) Tony F. Chan et Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, (ISBN 0-89871-589-X)