Matrice à coefficients positifs
Une matrice de type est à coefficients positifs lorsque tous ses éléments sont réels positifs ; on écrira alors . Elle est dite strictement positive lorsque tous ses éléments sont strictement positifs ; on écrira alors .
Relation d'ordre sur les matrices réelles
modifieret étant deux matrices réelles on définit une relation d'ordre partiel sur ces matrices en posant .
Il est immédiat que cette relation d'ordre est compatible avec l'addition. De même elle est compatible avec la multiplication (à gauche ou à droite) par une matrice positive.
Matrices carrées positives
modifierGraphe associé
modifierÀ toute matrice carrée positive nous associons le graphe (orienté) défini par :
- l'ensemble des sommets est ,
- un arc (orienté) joint le sommet au sommet si .
Rappelons par ailleurs qu'un chemin de longueur est une suite de arcs telle que l'extrémité de chaque arc soit l'origine du suivant. L'origine du premier arc est l'origine du chemin et l'extrémité du dernier arc est l'extrémité du chemin. On peut considérer qu'un chemin de longueur relie chaque sommet à lui-même.
Il est aisé (par exemple en faisant une récurrence) de vérifier :
Lemmes —
- est le graphe ayant les mêmes sommets que et dans lequel un arc relie à s'il existe dans un chemin de longueur reliant à .
- est le graphe ayant les mêmes sommets que et dans lequel un arc relie à s'il existe dans un chemin de longueur reliant à . (où désigne la matrice unité).
Rappelons qu'un graphe est fortement connexe si pour tout couple de sommets il existe un chemin joignant à .
Il résulte alors aisément par utilisation du second lemme ci-dessus que est fortement connexe si et seulement s'il existe un naturel tel que .
Tout chemin dans un graphe peut être simplifié en supprimant les cycles (chemin dont l'origine coïncide avec l'extrémité) parcourus dans ce chemin. Par conséquent un tel chemin simplifié ne peut passer qu'une fois au plus par chaque sommet et est donc de longueur inférieure ou égale à . Le graphe est donc fortement connexe si et seulement s'il existe un naturel tel que .
Matrice irréductible
modifierNous dirons que la matrice carrée positive est irréductible si le graphe est fortement connexe.
En particulier une matrice strictement positive est irréductible puisque chaque sommet de est relié à tout sommet par un arc (chemin de longueur 1).
L'étude ci-dessus montre qu'une caractérisation des matrices positives irréductibles est la suivante : Il existe un naturel tel que .
On peut également caractériser ces matrices positives irréductibles par .
Matrice réductible
modifierIl s'agit évidemment d'une matrice carrée positive non irréductible. En plus des caractérisations évidentes obtenues par négation des caractérisations ci-dessus nous avons :
Lemme — Soit une matrice carrée positive . Il y a équivalence entre
- est une matrice réductible.
- Il existe une partition de en 2 parties non vides telle que .
- Il existe une matrice de permutation telle que [1] soit de la forme où et sont des matrices carrées de format non nul.
Propriétés spectrales des matrices irréductibles
modifierLe théorème de Perron-Frobenius
modifierThéorème de Perron-Frobenius — Soit une matrice positive irréductible.
- Le rayon spectral de A est une valeur propre simple de , et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle engendrée par un vecteur (colonne) strictement positif.
- Si et sont respectivement le minimum et le maximum des sommes des éléments de chaque ligne de , on a .
- Si alors .
- Soit le nombre de valeurs propres (complexes) de module . Le spectre de dans le plan complexe est invariant par la rotation de centre et d'angle . En outre, si , il existe une matrice de permutation[1] telle que , où les blocs diagonaux (nuls) sont carrés.
Matrice primitive
modifierDéfinition :
Une matrice carrée positive irréductible de rayon spectral est dite primitive si [2] et si est la seule valeur propre (complexe) de module maximal .
Théorème — Soit une matrice primitive de rayon spectral . Alors la suite est convergente.
Sa limite est une matrice strictement positive où toutes les colonnes appartiennent à la droite vectorielle sous-espace propre de relatif à . Plus précisément cette limite est où , étant le polynôme caractéristique de et la comatrice transposée de .
Les lignes de la limite appartiennent de manière similaire au sous-espace propre à gauche de relatif à (formé des transposées des vecteurs colonne propres de relatif à ).
Théorème — Soit une matrice carrée positive. Il y a équivalence entre :
- est primitive
- Il existe un naturel tel que
On remarque qu'en particulier une matrice strictement positive est primitive (c'est dans ce cas des matrices strictement positive qu'O. Perron a établi son théorème en 1907).
Une matrice carrée positive irréductible non primitive est dite imprimitive. Dans ce cas le nombre de valeurs propres complexes de module maximal est désigné par indice d'imprimitivité de .
Propriétés spectrales des matrices carrées positives générales
modifierLe théorème de Perron Frobenius ne s'applique pas aux matrices réductibles. Cependant il est possible d'en donner une forme affaiblie valable de manière générale.
Théorème — Soit une matrice carrée positive. Elle possède une valeur propre positive (ou nulle) et le sous-espace propre associé comporte au moins un vecteur propre positif. Toute autre valeur propre complexe de est de module inférieur (ou égal) à .
est compris entre le minimum et le maximum des sommes des éléments des lignes de .
Cas particuliers
modifierParmi les familles de matrices à coefficients positifs qui ont été beaucoup étudiées on compte les matrices stochastiques, les matrices bistochastiques et les matrices stochastiques à coefficients positifs.
Notes et références
modifier- Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Matrice positive » (voir la liste des auteurs).
- Si est une permutation de la matrice associée est définie par ( symbole de Kronecker). La matrice s'obtient aussi à partir de en effectuant la permutation sur les lignes et colonnes (équivalent respectivement à la multiplication à gauche par et à droite par ). Autrement dit .
On remarque que est strictement positive (resp.irréductible) si et seulement si l'est. En effet les éléments de sont ceux de et de plus comme . - Si on a nécessairement (cf. P.F.)
- F.R Gantmacher. Théorie des matrices Ch.5 §4 (Ed. Jacques Gabay)