Matrice à coefficients positifs

Une matrice de type est à coefficients positifs lorsque tous ses éléments sont réels positifs ; on écrira alors . Elle est dite strictement positive lorsque tous ses éléments sont strictement positifs ; on écrira alors .

Relation d'ordre sur les matrices réelles

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  et   étant deux matrices réelles   on définit une relation d'ordre partiel sur ces matrices en posant  .

Il est immédiat que cette relation d'ordre est compatible avec l'addition. De même elle est compatible avec la multiplication (à gauche ou à droite) par une matrice positive.

Matrices carrées positives

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Graphe associé

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À toute matrice carrée positive   nous associons le graphe (orienté)   défini par :

  • l'ensemble des sommets est  ,
  • un arc (orienté) joint le sommet   au sommet   si  .

Rappelons par ailleurs qu'un chemin de longueur   est une suite de   arcs telle que l'extrémité de chaque arc soit l'origine du suivant. L'origine du premier arc est l'origine du chemin et l'extrémité du dernier arc est l'extrémité du chemin. On peut considérer qu'un chemin de longueur   relie chaque sommet à lui-même.

Il est aisé (par exemple en faisant une récurrence) de vérifier :

Lemmes — 

  •   est le graphe ayant les mêmes sommets que   et dans lequel un arc relie   à   s'il existe dans   un chemin de longueur   reliant   à  .
  •   est le graphe ayant les mêmes sommets que   et dans lequel un arc relie   à   s'il existe dans   un chemin de longueur   reliant   à  . (où   désigne la matrice unité).


Rappelons qu'un graphe est fortement connexe si pour tout couple   de sommets il existe un chemin joignant   à  . Il résulte alors aisément par utilisation du second lemme ci-dessus que   est fortement connexe si et seulement s'il existe un naturel   tel que  .

Tout chemin dans un graphe peut être simplifié en supprimant les cycles (chemin dont l'origine coïncide avec l'extrémité) parcourus dans ce chemin. Par conséquent un tel chemin simplifié ne peut passer qu'une fois au plus par chaque sommet et est donc de longueur inférieure ou égale à  . Le graphe est donc fortement connexe si et seulement s'il existe un naturel   tel que  .

Matrice irréductible

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Nous dirons que la matrice carrée positive   est irréductible si le graphe   est fortement connexe.

En particulier une matrice strictement positive est irréductible puisque chaque sommet   de   est relié à tout sommet   par un arc (chemin de longueur 1).

L'étude ci-dessus montre qu'une caractérisation des matrices positives irréductibles est la suivante : Il existe un naturel   tel que  .

On peut également caractériser ces matrices positives irréductibles par  .

Matrice réductible

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Il s'agit évidemment d'une matrice carrée positive non irréductible. En plus des caractérisations évidentes obtenues par négation des caractérisations ci-dessus nous avons :

Lemme —  Soit une matrice carrée positive  . Il y a équivalence entre

  1.   est une matrice réductible.
  2. Il existe une partition de   en 2 parties non vides   telle que  .
  3. Il existe une matrice de permutation   telle que  [1]   soit de la forme    et   sont des matrices carrées de format non nul.

Propriétés spectrales des matrices irréductibles

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Le théorème de Perron-Frobenius

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Théorème de Perron-Frobenius —  Soit   une matrice positive irréductible.

  • Le rayon spectral   de A est une valeur propre simple de  , et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle engendrée par un vecteur (colonne) strictement positif.
  • Si   et   sont respectivement le minimum et le maximum des sommes des éléments de chaque ligne de  , on a  .
  • Si   alors  .
  • Soit   le nombre de valeurs propres (complexes) de module  . Le spectre de   dans le plan complexe est invariant par la rotation de centre   et d'angle  . En outre, si  , il existe une matrice de permutation[1]   telle que  , où les blocs diagonaux (nuls) sont carrés.

Matrice primitive

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Définition :
Une matrice carrée positive irréductible de rayon spectral   est dite primitive si   [2] et si   est la seule valeur propre (complexe) de module maximal  .

Théorème —  Soit   une matrice primitive de rayon spectral  . Alors la suite   est convergente.

Sa limite est une matrice strictement positive où toutes les colonnes appartiennent à la droite vectorielle sous-espace propre de   relatif à  . Plus précisément cette limite est   ,   étant le polynôme caractéristique de   et   la comatrice transposée de  .

Les lignes de la limite appartiennent de manière similaire au sous-espace propre à gauche de   relatif à   (formé des transposées des vecteurs colonne propres de   relatif à  ).

Théorème —  Soit   une matrice carrée positive. Il y a équivalence entre :

  1.   est primitive
  2. Il existe un naturel   tel que  

On remarque qu'en particulier une matrice strictement positive est primitive (c'est dans ce cas des matrices strictement positive qu'O. Perron a établi son théorème en 1907).


Une matrice carrée positive irréductible non primitive est dite imprimitive. Dans ce cas le nombre   de valeurs propres complexes de module maximal   est désigné par indice d'imprimitivité de  .

Propriétés spectrales des matrices carrées positives générales

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Le théorème de Perron Frobenius ne s'applique pas aux matrices réductibles. Cependant il est possible d'en donner une forme affaiblie valable de manière générale.

Théorème —  Soit   une matrice carrée positive. Elle possède une valeur propre positive (ou nulle)   et le sous-espace propre associé comporte au moins un vecteur propre positif. Toute autre valeur propre complexe de   est de module inférieur (ou égal) à  .

  est compris entre le minimum et le maximum des sommes des éléments des lignes de  .

Cas particuliers

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Parmi les familles de matrices à coefficients positifs qui ont été beaucoup étudiées on compte les matrices stochastiques, les matrices bistochastiques et les matrices stochastiques à coefficients positifs.

Notes et références

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  1. a et b Si   est une permutation de   la matrice   associée est définie par   (  symbole de Kronecker). La matrice   s'obtient aussi à partir de   en effectuant la permutation   sur les lignes et colonnes (équivalent respectivement à la multiplication à gauche par   et à droite par  ). Autrement dit  .
    On remarque que   est strictement positive (resp.irréductible) si et seulement si   l'est. En effet les éléments de   sont ceux de   et de plus comme  .
  2. Si   on a nécessairement   (cf. P.F.)
  3. F.R Gantmacher. Théorie des matrices Ch.5 §4 (Ed. Jacques Gabay)