Théorème de Perron-Frobenius

En algèbre linéaire et en théorie des graphes, le théorème de Perron-Frobenius, démontré par Oskar Perron et Ferdinand Georg Frobenius, a d'importantes applications en théorie des probabilités (chaînes de Markov), en théorie des systèmes dynamiques, en économie (analyse entrée-sortie[1]), en théorie des graphes, en dynamique des populations[2] (matrices de Leslie (en)) et dans l'aspect mathématique du calcul des pagerank de Google[3].

Théorème de Perron Frobenius pour une matrice positive irréductibleModifier

Théorème de Perron-Frobenius —  Soit   une matrice à coefficients positifs de type   et irréductible.

  • Le rayon spectral   de   est une valeur propre simple de  , et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle engendrée par un vecteur (colonne) strictement positif.
  • Si   et   sont respectivement le minimum et le maximum des sommes des éléments de chaque ligne de  , on a  .
  • Si   alors  .
  • Soit   le nombre de valeurs propres (complexes) de module  . Le spectre de   dans le plan complexe est invariant par la rotation de centre   et d'angle  . En outre, si  , il existe une matrice de permutation   telle que  , où les blocs diagonaux (nuls) sont carrés.

Applications pratiquesModifier

  • Ce théorème permet de montrer, sous certaines conditions, qu'une chaîne de Markov ergodique sur un espace d'états fini converge en loi vers son unique mesure invariante.
  • Le vecteur de Google utilisé lors du calcul des PageRank de Google est un vecteur de Perron-Frobenius[3].

Notes et référencesModifier

  1. Carl Meyer, Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM (ISBN 0-89871-454-0, lire en ligne)8.3.6 p. 681)
  2. Bair Jacques, « Matrice de Leslie. Pour modéliser la dynamique d'une population structurée en classes d'âges. », Bulletin de l'APMEP,‎ , p. 527-533 (ISSN 0240-5709, lire en ligne)
  3. a et b Bachir Bekka, Le théorème de Perron-Frobenius, les chaînes de Markov et un célèbre moteur de recherche
  4.   et   est la plus grande racine réelle (c'est une racine simple) du polynôme réel   qui vérifie  . On voit que   est strictement positive.