Formule de Newton-Cotes

En analyse numérique, les formules de Newton-Cotes, du nom d'Isaac Newton et de Roger Cotes, servent au calcul numérique d'une intégrale sur un intervalle réel [a, b], ceci à l’aide d’une interpolation polynomiale de la fonction en des points répartis uniformément.

MéthodologieModifier

La fonction f est évaluée en des points équidistants xi = a + iΔ, pour i = 0, … , n et Δ = (b – a)/n. La formule de degré n est définie ainsi :

 

où les wi sont appelés les coefficients de quadrature. Ils se déduisent d'une base de polynômes de Lagrange et sont indépendants de la fonction f.

Plus précisément, si L(x) est l'interpolation lagrangienne aux points (xi, f(xi)) et  , alors :

 

Ainsi ;   Le changement de variable   conduit à l'expression[1]:  

Application pour n = 1Modifier

En calculant l'expression précédente lorsque n=1 et i=0, on obtient

 

On obtient de la même manière  . On a ainsi retrouvé les coefficients de quadrature de la méthode des trapèzes.

Premières formules de Newton-CotesModifier

Soit un intervalle [a, b] séparé en n intervalles de longueur Δ = (b – a)/n. On note fi = f(a + i Δ) et ξ un élément indéterminé de ]a, b[. Les formules relatives aux premiers degrés sont résumées dans le tableau suivant :

Degré Nom commun Formule Terme d'erreur
1 Méthode des trapèzes    
2 Méthode de Simpson 1/3    
3 Méthode de Simpson 3/8      
4 Méthode de Boole-Villarceau      
6 Méthode de Weddle-Hardy      


Les formules relatives aux degrés supérieurs sont donnés dans le tableau suivant :

Degré Nombre de points Formule Terme d'erreur
7 Méthode à 8 points[1]    
8 Méthode à 9 points[1]    
9 Méthode à 10 points[1]    
10 Méthode à 11 points[1]    

Ordre de la méthodeModifier

L'ordre d'une formule de quadrature est définie comme le plus grand entier m pour lequel la valeur calculée par la formule vaut exactement l'intégrale recherchée pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à m.

L'ordre de la formule de Newton-Cotes de degré n est supérieur ou égal à n, car on a alors L=f pour tout f polynôme de degré inférieur ou égal à n.

On peut en fait montrer le résultat suivant[2]:

Si n est impair, alors la méthode de Newton-Cotes de degré n est d'ordre n.

Si n est pair, alors la méthode de Newton-Cotes de degré n est d'ordre n+1.

L'ordre donne une indication de l'efficacité d'une formule de quadrature. Les formules de Newton-Cotes sont donc généralement utilisées pour des degrés pairs.

ConvergenceModifier

Bien qu'une formule de Newton-Cotes puisse être établie pour n'importe quel degré, l'utilisation de degrés supérieurs peut causer des erreurs d'arrondi[2], et la convergence n’est pas assurée lorsque le degré augmente à cause du phénomène de Runge. Pour cette raison, il est généralement préférable de se restreindre aux premiers degrés, et d'utiliser des formules composites pour améliorer la précision de la formule de quadrature. Toutefois, la méthode de Newton-Cotes d'ordre 8 est employée dans le livre Computer Methods for Mathematical Computations, de Forsythe, Malcolm et Moler, qui a joui d'un succès certain dans les années 70 et 80. Elle y apparaît sous la forme d'une méthode adaptative : QUANC8[3].

RéférencesModifier

  1. a b c d et e Weisstein, Eric W. "Newton-Cotes Formulas." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  2. a et b Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences, coll. « Grenoble Sciences », , 344 p. (ISBN 978-2-7598-0112-1, lire en ligne), p. 63.
  3. Code source de QUANC8

Liens externesModifier