Méthode de Simpson

méthode de calcul numérique d'une intégrale

En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson, est une technique de calcul numérique d'une intégrale, c'est-à-dire le calcul approché de :

Cette méthode utilise l'approximation d'ordre 2 de f par un polynôme quadratique P prenant les mêmes valeurs que f aux points d'abscisse a, b et m = (a + b)2. Pour déterminer l'expression de cette parabole (polynôme de degré 2), on utilise l'interpolation lagrangienne. Le résultat peut être mis sous la forme :

Un polynôme étant une fonction très facile à intégrer, on approche l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a, b], par l'intégrale de P sur ce même intervalle. On a ainsi la simple formule :

La courbe rouge représente le polynôme d'approximation P(x).

Un autre moyen d'arriver à ce résultat est d'appliquer les formules de Newton-Cotes avec n = 2.

Si f est 4 fois continument différentiable sur [a, b], l'erreur d'approximation vaut :

Cette expression du terme d'erreur signifie que la méthode de Simpson est exacte (c'est-à-dire que le terme d'erreur s'annule) pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3. De plus, cette méthode est d'ordre 4 pour toute fonction continûment dérivable quatre fois sur [a, b].

Forme compositeModifier

Par ailleurs, il apparaît que plus l'intervalle est petit, plus l'approximation de la valeur de l'intégrale est bonne. Par conséquent, pour obtenir un résultat correct, on subdivise l'intervalle [a, b] en sous-intervalles et on additionne la valeur obtenue sur chaque intervalle. Soit :

 

où :

  • n est le nombre de sous-intervalles de [a, b] ;
  • h =(b – a)n est la longueur de ces sous-intervalles ;
  •   pour  

Pour cette formule composite, le terme d'erreur devient égal à

 

ce qui signifie que la méthode composite fournit aussi des résultats exacts pour des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

À la fois à cause de sa simplicité de mise en œuvre et sa bonne précision, cette méthode est la plus utilisée par les calculatrices pour tous calculs approchés d'intégrales de fonctions explicites.

Méthode 3/8 de SimpsonModifier

La méthode 3/8 de Simpson, ou deuxième méthode de Simpson, s'appuie cette fois sur une approximation cubique de la fonction plutôt qu'une approximation quadratique :

 
  est le pas.

L'erreur est donnée par

 
 . La méthode 3/8 est donc deux fois plus précise que la méthode classique, mais nécessite une évaluation supplémentaire de la fonction[1].

Pour une formule basée sur une interpolation d'ordre supérieur, on pourra se tourner vers les formules de Newton-Cotes.

On peut également dériver la formule 3/8 de Simpson pour en tirer une forme composite :

 

L'erreur est évaluée avec[1]  mais il apparait clairement que la formule n'est utilisable pour n multiple de 3.

RéférencesModifier

  1. a et b John H. Matthews, « Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration » [archive du ], sur Numerical Analysis - Numerical Methods Project, California State University, Fullerton, (consulté le )

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Calcul intégral

Liens externesModifier