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En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph-Louis Lagrange, permettent d'interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d'interpolation polynomiale a été découverte par Edward Waring en 1779 et redécouverte plus tard par Leonhard Euler en 1783. C'est un cas particulier du théorème des restes chinois.

Sommaire

DéfinitionModifier

 
Cette image montre, pour 4 points ((-9, 5), (-4, 2), (-1, -2), (7, 9)), l'interpolation polynomiale L(x) (de degré 3), qui est la somme des polynômes de base y0.l0(x), y1.l1(x), y2.l2(x) et y3.l3(x). Le polynôme d'interpolation passe par les 4 points de contrôle, et chaque polynôme de base passe par son point de contrôle respectif et vaut 0 pour les x correspondant aux autres points de contrôle.

On se donne n + 1 points   (avec les xi distincts deux à deux). On se propose de construire un polynôme de degré minimal qui aux abscisses xi prend les valeurs yi, ce que la méthode suivante permet de réaliser.

L'étude suivante propose de montrer que le polynôme   est le seul polynôme de degré au plus n à satisfaire cette propriété[1].

Polynômes de LagrangeModifier

Les polynômes de Lagrange associés à ces points sont les polynômes définis par :

 

On a en particulier deux propriétés :

  1. li est de degré n pour tout i ;
  2.   c'est-à-dire   et   pour  

Polynôme d'interpolationModifier

Le polynôme défini par   est l'unique polynôme de degré au plus n vérifiant   pour tout i.

En effet :

  • d'une part   ;
  • d'autre part, étant combinaison linéaire de polynômes de degré n, L est de degré au plus n ; si un autre polynôme Q vérifie ces propriétés, alors L – Q est de degré au plus n et il s'annule en n + 1 points distincts (les xk) : L – Q est donc nul, ce qui prouve l'unicité.

ExempleModifier

Pour les points  , on calcule d'abord les polynômes de Lagrange :

  •   ;
  •   ;
  •  .

Puis on calcule la fonction polynomiale passant par ces points :

  •   ;
  •  .

Autre écritureModifier

Posons le polynôme  . On voit immédiatement qu'il vérifie N(xi) = 0 et, en utilisant la formule de Leibniz, sa dérivée vaut :

 .

En particulier, en chaque nœud xk, tous les produits s'annulent sauf un, ce qui donne la simplification :

 .

Ainsi, les polynômes de Lagrange peuvent être définis à partir de N :

 .

On peut utiliser N pour traduire l'unicité : si Q vérifie   pour tout i alors Q – L s'annule aux points xi donc est un multiple de N. Il est donc de la forme  P est un polynôme quelconque. On a ainsi l'ensemble des polynômes interpolateurs liés aux points (xi, yi), et L est celui de degré minimal.

Base de polynômesModifier

On se donne n + 1 scalaires distincts  . Pour tout polynôme P appartenant à  , si on pose  , P est le polynôme d'interpolation correspondant aux points : il est égal au polynôme L défini ci-dessus.

On a donc   donc   forme une famille génératrice de  . Comme son cardinal (égal à n + 1) est égal à la dimension de l'espace, elle en est une base.

Exemples : en choisissant P = 1 ou P = X, on a :

  1.   ;
  2.  .

En fait c'est la base dont la base duale est la famille des n + 1 formes linéaires   de Dirac définies par

 .

Autrement dit, si l'on considère le produit scalaire :

 ,

la famille   forme une base orthonormée de  .

ApplicationsModifier

Idée principaleModifier

Résoudre un problème d'interpolation conduit à inverser une matrice pleine de type matrice de Vandermonde[2]. C'est un calcul lourd en nombre d'opérations. Les polynômes de Lagrange définissent une nouvelle base de polynômes qui permet de ne plus avoir une matrice pleine mais une matrice diagonale. Or, inverser une matrice diagonale est une opération instantanée.

Polynôme d'interpolation de Lagrange-SylvesterModifier

Pour tout multiensemble   de scalaires et tout élément   de  , il existe un unique polynôme   de degré   tel que

 .

Ce polynôme s'écrit donc  , où   est l'unique polynôme de degré   tel que   et tous les autres   sont nuls[3]. Cela généralise à la fois l'interpolation de Lagrange et celle d'Hermite.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lagrange polynomial » (voir la liste des auteurs).