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Ne doit pas être confondu avec Lois de Raoult.

La loi de Raoult est une loi empirique de la thermodynamique émise par le physicien français François-Marie Raoult en 1882, dérivée de sa loi de la tonométrie. Elle dit que la pression totale à l'équilibre au-dessus d'une solution idéale liquide est égale à la somme des pressions de vapeur saturante de ses constituants pondérées par les fractions molaires liquides de ceux-ci. Cette loi est utilisée dans de nombreux domaines de la chimie, de la physique et de la météorologie. Elle permet notamment de calculer les équilibres liquide-vapeur des solutions idéales liquides dont la phase vapeur est un mélange de gaz parfaits.

Énoncé et démonstrationModifier

ÉnoncéModifier

 
Pression de vapeur totale (en noir) d'un mélange binaire, somme des pressions partielles des deux corps (en vert), en fonction des concentrations molaires de ceux-ci dans le mélange liquide.

La loi de Raoult s'énonce ainsi :

«  Dans une solution idéale, la pression partielle en phase vapeur d'un constituant est proportionnelle à sa fraction molaire en phase liquide.  »

Étant donné que pour le corps pur la pression est égale à sa pression de vapeur saturante, le coefficient de proportionnalité est bien entendu égal à cette pression. La forme mathématique de la loi de Raoult s'écrit, pour un mélange de   composants :

Loi de Raoult
Pression partielle de   :  
Pression totale :  

avec les notations :

  •   la pression totale du mélange ;
  •   la pression partielle du composant  , par définition   ;
  •   la pression de vapeur saturante du composant   pur à   du mélange ;
  •   la fraction molaire du constituant   dans la phase vapeur ;
  •   la fraction molaire du constituant   dans la phase liquide.

DémonstrationModifier

Article détaillé : Activité chimique.

Il est à noter que la loi de Raoult a été établie empiriquement par son auteur, sur base de sa loi de la tonométrie pour les liquides et de la loi de Dalton pour les gaz. La démonstration rigoureuse qui suit est postérieure au développement du formalisme mathématique de la thermodynamique par Willard Gibbs, qui introduisit notamment la notion de potentiel chimique, et par Gilbert Lewis, qui introduisit les notions de fugacité et d'activité chimique.

Dans une solution à l'équilibre, pour chaque constituant   les potentiels chimiques dans la phase liquide   et dans la phase vapeur   sont égaux :

(1)  

Pour la phase liquide et la phase vapeur, considérées comme des solutions idéales, les potentiels chimiques sont développés selon :

(2)  
(3)  

avec :

La variation isotherme du potentiel chimique en fonction de la pression permet d'écrire pour le composant   pur en phase liquide :

 

avec   volume molaire du composant   à l'état de liquide pur. Le dernier terme est généralement négligé, soit :

 

Ceci traduit le fait que les liquides sont généralement peu sensibles à la pression et sont considérés comme incompressibles : leurs propriétés sont considérées, à température donnée, comme étant celles du liquide à saturation à cette même température, quelle que soit la pression. En introduisant cette relation dans (2), il vient :

(4)  

La variation isotherme du potentiel chimique en fonction de la pression permet d'écrire pour le composant   pur en phase vapeur :

 

avec   le volume molaire du composant   à l'état de gaz pur. Si ce gaz est considéré comme parfait alors :

 
 

En introduisant cette relation dans (3), il vient :

(5)  

Les relations (4) et (5) permettent donc de réécrire la relation (1) selon :

(6)  

La relation (1) étant aussi valable pour un corps pur à l'équilibre liquide-vapeur (saturation), celui-ci à la température   étant à sa pression de vapeur saturante  , il vient :

 

La relation (6) produit donc :

 

En application de la loi de Dalton on a :

 

Correction de PoyntingModifier

Si l'on ne néglige pas le terme   dans l'expression du potentiel chimique en phase liquide, celui-ci dans la relation (4) s'exprime exactement selon :

 
 

avec   volume molaire du composant   liquide pur à   et  . Le facteur exponentiel est appelé correction de Poynting ou facteur de Poynting :

Facteur de Poynting du corps   :  

La loi de Raoult avec correction de Poynting devient :

Loi de Raoult et correction de Poynting
Pression partielle de   :  
Pression totale :  

Les liquides étant peu compressibles, le volume molaire liquide   est souvent considéré comme indépendant de la pression, auquel cas :

 

À basse pression (moins de 10 atm, domaine d'application de la loi des gaz parfaits), la correction de Poynting est négligeable :

 

Avec la loi de Raoult sans correction de Poynting, connaissant pour un mélange liquide sa composition (fractions molaires  ) et la pression de vapeur saturante de chacun des composants   à la température  , la pression se calcule explicitement selon :

 

La loi de Raoult avec correction de Poynting nécessite un calcul itératif, puisque l'expression est implicite en   :

 

Limites de la loi de RaoultModifier

Écarts des équilibres liquide-vapeur réelsModifier

 
Écarts à la loi de Raoult. S'il existe, le maximum ou le minimum d'une courbe d'équilibre liquide-vapeur d'un mélange binaire réel correspond à un azéotrope (respectivement positif ou négatif).

La loi de Raoult s’applique à des systèmes idéaux dans lesquels les interactions entre molécules de même espèce ou d'espèces différentes sont toutes identiques. Les écarts à la loi de Raoult observés dans les équilibres liquide-vapeur réels peuvent être positifs ou négatifs selon l'attraction électronique des composants du mélange.

Écart positif
Lorsque dans un mélange composé de deux constituants A et B les molécules du même constituant (interactions A-A et B-B) s'attirent plus fortement que les molécules d'espèces différentes entre elles (interaction A-B), l’ajout par exemple de molécules B dans le liquide A pur a pour effet de diminuer les forces d’attraction entre les molécules A et la volatilité de A est augmentée. Il y a alors une déviation positive par rapport à la loi de Raoult : la pression totale de la vapeur en équilibre au-dessus de la solution liquide est supérieure à celle calculée.
Écart négatif
Si, par contre, les molécules de A et de B sont plus attirées entre elles (interaction A-B) que par celles du même constituant (interactions A-A et B-B), l'ajout de molécules B au liquide A pur augmente les forces d’attraction auxquelles sont soumises les molécules A et celles-ci deviennent moins volatiles. Il y a alors une déviation négative par rapport à la loi de Raoult : la pression totale de la vapeur en équilibre au-dessus de la solution liquide est inférieure à celle calculée.

Le plus souvent les pressions d'équilibre d'un mélange binaire réel restent comprises, pour une température donnée, entre les pressions de vapeur saturante des deux composants à cette même température.

Les azéotropesModifier

Lorsque le comportement non idéal d'un mélange binaire devient suffisamment important, les pressions d'équilibre du mélange peuvent être soit plus grandes que la plus grande des pressions de vapeur saturante des composants, soit plus petites que la plus petite des pressions de vapeur saturante des composants, ce qui est représenté sur la figure ci-dessus. Dans les deux cas les courbes d'équilibre liquide-vapeur présentent nécessairement un extremum (respectivement un maximum et un minimum) qui correspond, en vertu du théorème de Gibbs-Konovalov, à un azéotrope. L'azéotrope est dit positif si sa pression est supérieure à la pression prévue par la loi de Raoult et négatif dans le cas contraire.

La loi de Raoult est fondamentalement incapable de représenter des azéotropes, c'est-à-dire des mélanges pour lesquels, dans certaines conditions de pression, température et composition, le liquide et la vapeur en équilibre ont la même composition. Dans ces conditions la pression d'ébullition et la pression de rosée (voir plus bas) sont égales : un mélange azéotropique se comporte donc comme un corps pur, néanmoins il y a bien plusieurs espèces chimiques en présence. Par exemple, le mélange eau - éthanol contenant 96 % d'éthanol présente un azéotrope à 78,1 °C sous une pression de 1 atm : la loi de Raoult ne peut pas représenter ce mélange.

Un azéotrope est une preuve de non-idéalité du mélange. Dans le cas du mélange eau - éthanol, cette non-idéalité se traduit également par le fait qu'un mélange d'un litre d'eau et d'un litre d'éthanol a un volume de 1,92 litres : les forces d'attraction entre molécules des deux espèces produisent une contraction du volume. La loi de Raoult étant basée sur l'hypothèse de l'idéalité des phases liquide et vapeur, ce type de comportement est donc en dehors de son champ d'application.

Cas des gaz dissouts, loi de HenryModifier

Articles détaillés : Loi de Henry et Activité chimique.

La loi de Raoult s'applique à des composants qui présentent une pression de vapeur saturante   à la température   du mélange. Pour un gaz dissout, c'est-à-dire un fluide supercritique dont la température critique est inférieure à la température du mélange :  , la loi de Raoult n'est pas applicable, puisque le gaz ne possède pas de pression de vapeur saturante à cette température. Pour les gaz dissouts, le pendant de la loi de Raoult est la loi de Henry.

La loi de Henry établit la relation suivante entre la pression partielle   d'un constituant gazeux et sa fraction molaire   dans un solvant liquide   :

Loi de Henry :  

  est appelé constante de Henry, bien qu'elle dépende de la température et de la pression. La constante de Henry est spécifique du gaz   dans le solvant  , c'est-à-dire qu'elle doit être déterminée pour chaque couple « gaz   - solvant   » et n'est pas valable si le gaz   est considéré avec un solvant autre que le solvant   pour lequel elle a été déterminée.

Extension aux équilibres liquide-vapeur réelsModifier

Article détaillé : Activité chimique.

La loi de Raoult n'est valable que si le liquide et sa vapeur sont tous deux des solutions idéales, la phase gaz étant de surcroît un mélange de gaz parfaits. L'application de la loi de Raoult est donc restreinte à des cas particuliers, pour certains mélanges de produits et certaines plages de température et de pression. Elle constitue néanmoins une base pour calculer les équilibres liquide-vapeur des mélanges réels (y compris les azéotropes) à l'aide de facteurs correctifs tels que les coefficients de fugacité pour la phase gaz et les coefficients d'activité pour la phase liquide :

 

avec :

  •   le coefficient de fugacité du corps   en phase gaz, à  ,   et composition du mélange gazeux ;
  •   le coefficient de fugacité du corps   pur à saturation en phase gaz, à   et   ;
  •   le coefficient d'activité du corps   en phase liquide, à  ,   et composition du mélange liquide ;
  •   la correction de Poynting.

ApplicationsModifier

Calcul d'un point d'ébullitionModifier

Pression d'ébullitionModifier

Le problème est le suivant :

« Soit un mélange liquide de   composants, chaque composant   étant représenté par sa fraction molaire  , à la température   ; calculer la pression d'ébullition   du mélange. »

La pression d'ébullition d'un mélange, à température donnée, est la pression au-delà de laquelle (pour des pressions plus fortes) le mélange est entièrement liquide : à la pression d'ébullition apparaît la première bulle de vapeur. En deçà de la pression d'ébullition (pour des pressions plus faibles), le mélange présente un équilibre liquide-vapeur, ou est entièrement gazeux (en deçà de la pression de rosée).

Nous connaissons la température   du mélange, nous pouvons donc calculer la pression de vapeur saturante   de chacun des composants. La composition de la phase liquide est connue. La pression d'ébullition   se calcule alors simplement par :

Pression d'ébullition :  

Toutefois avec la correction de Poynting   le calcul n'est pas explicite. En effet, l'équation à résoudre en   devient :

 

On pourra employer la méthode du point fixe. Soit la fonction   de   :

 

On initialise le calcul par la solution obtenue par la loi de Raoult sans correction de Poynting :

 

puis on calcule la pression   à partir de la pression   obtenue à l'itération précédente par :

 

jusqu'à une erreur   acceptable :

 

Température d'ébullitionModifier

Le problème est le suivant :

« Soit un mélange liquide de   composants, chaque composant   étant représenté par sa fraction molaire  , à la pression   ; calculer la température d'ébullition   du mélange. »

La température d'ébullition d'un mélange, à pression donnée, est la température en deçà de laquelle (pour des températures plus basses) le mélange est entièrement liquide : à la température d'ébullition apparaît la première bulle de vapeur. Au-delà de la température d'ébullition (pour des températures plus élevées), le mélange présente un équilibre liquide-vapeur, ou est entièrement gazeux (au-delà de la température de rosée).

La solution n'est pas explicite, car l'expression de la loi de Raoult (avec ou sans correction de Poynting) n'est pas explicite en température. La pression étant donnée et la température étant l'inconnue, les pressions de vapeur saturante   et les corrections de Poynting   sont des fonctions de  . Si l'on pose la fonction   de la température   :

 

la température d'ébullition   est la solution de l'équation :  , la pression   étant une donnée du problème. On pourra travailler par itérations imbriquées, en faisant varier la température   et en calculant la pression d'ébullition correspondante jusqu'à ce que cette pression soit la pression de l'énoncé.

Calcul d'un point de roséeModifier

Pression de roséeModifier

Le problème est le suivant :

« Soit un mélange gazeux de   composants, chaque composant   étant représenté par sa fraction molaire  , à la température   ; calculer la pression de rosée   du mélange. »

La pression de rosée d'un mélange, à température donnée, est la pression en deçà de laquelle (pour des pressions plus faibles) le mélange est entièrement gazeux : à la pression de rosée apparaît la première goutte de liquide. Au-delà de la pression de rosée (pour des pressions plus fortes), le mélange présente un équilibre liquide-vapeur, ou est entièrement liquide (au-delà de la pression d'ébullition).

Nous connaissons la température   du mélange, nous pouvons donc calculer la pression de vapeur saturante   de chacun des composants. La composition de la phase vapeur est connue.

La loi de Raoult sans correction de Poynting donne pour tout constituant   :

 
 

soit, en sommant sur l'ensemble des constituants :

 

La pression de rosée   se calcule alors simplement par :

Pression de rosée :  

Toutefois avec la correction de Poynting   le calcul n'est pas explicite. En effet, l'équation à résoudre en   devient :

 

On pourra employer la méthode du point fixe. Soit la fonction   de   :

 

On initialise le calcul par la solution obtenue par la loi de Raoult sans correction de Poynting :

 

puis on calcule la pression   à partir de la pression   obtenue à l'itération précédente par :

 

jusqu'à une erreur   acceptable :

 

Température de roséeModifier

Le problème est le suivant :

« Soit un mélange gazeux de   composants, chaque composant   étant représenté par sa fraction molaire  , à la pression   ; calculer la température de rosée   du mélange. »

La température de rosée d'un mélange, à pression donnée, est la température au-delà de laquelle (pour des températures plus élevées) le mélange est entièrement gazeux : à la température de rosée apparaît la première goutte de liquide. En deçà de la température de rosée (pour des températures plus basses), le mélange présente un équilibre liquide-vapeur, ou est entièrement liquide (en deçà de la température d'ébullition).

La solution n'est pas explicite, car l'expression de la loi de Raoult (avec ou sans correction de Poynting) n'est pas explicite en température. La pression étant donnée et la température étant l'inconnue, les pressions de vapeur saturante   et les corrections de Poynting   sont des fonctions de  . Si l'on pose la fonction   de la température   :

 

la température de rosée   est la solution de l'équation :  , la pression   étant une donnée du problème. On pourra travailler par itérations imbriquées, en faisant varier la température   et en calculant la pression de rosée correspondante jusqu'à ce que cette pression soit la pression de l'énoncé.

Calcul d'un équilibre liquide-vapeurModifier

Énoncé du problèmeModifier

Le problème est le suivant :

« Soit, à pression   et température   données, un mélange de   constituants, chaque constituant   étant représenté par la quantité  . Calculer la composition des phases vapeur et liquide en présence. »

Nous avons donc   inconnues, il s'agit en effet de calculer pour chacun des   constituants :

  •   la quantité du constituant   en phase vapeur ;
  •   la quantité du constituant   en phase liquide.

Soient :

  •   la quantité de matière totale en phase vapeur (inconnue) ;
  •   la quantité de matière totale en phase liquide (inconnue) ;
  •   la fraction molaire du constituant   en phase vapeur (inconnue) ;
  •   la fraction molaire du constituant   en phase liquide (inconnue).

La pression et la température étant données, les pressions de vapeur saturante   et les corrections de Poynting   sont des constantes. On définit pour chacun des   constituants le coefficient de partage  , qui est une constante en appliquant la loi de Raoult à pression et température données :

Coefficient de partage du corps   :  

Nous avons les   équations :

  • équilibres chimiques selon la loi de Raoult :   ;
  • bilans de matière :  .

Réduction du problèmeModifier

Soit   la quantité de matière totale considérée, il s'agit d'une valeur connue du problème. On a, par bilan de matière global :

 

Soit pour chacun des   constituants la fraction molaire globale, notée   :

Fraction molaire globale du corps   :  

Puisque l'on connaît la quantité de matière   de chacun des   constituants, les fractions molaires   sont connues également.

On définit d'autre part   la fraction molaire globale de la phase vapeur, ou taux de vaporisation :

Taux de vaporisation :  

Cette grandeur est une inconnue du problème. Le système de   équations à   inconnues est réduit à une équation à une inconnue,  , due à Rachford et Rice (1952)[1] :

Équation de Rachford-Rice :  


On pourra résoudre cette équation sur l'intervalle   par la méthode de Newton, en considérant la dérivée   de la fonction   :

 

On remarquera que  , ce qui indique que   est décroissante.

On initialisera le calcul avec  , puis on procèdera par itérations successives selon :

 

jusqu'à une erreur   acceptable :

 

Les fractions molaires sont ensuite calculées par :

 
 

et les quantités globales respectives des deux phases par :

 
 

d'où l'on obtient finalement les quantités dans chaque phase pour chacun des   constituants :

 
 
Note - autre forme de l'équation de Rachford-Rice
Plutôt que de rechercher le taux de vaporisation  , on peut rechercher le taux de liquéfaction   défini par :
 
L'équation de Rachford-Rice se présente alors sous la forme :
 
Cette fonction est monotone strictement croissante en   pour  .

Résolution du problèmeModifier

Avant de calculer un équilibre liquide-vapeur, il faut vérifier que le mélange n'est pas entièrement liquide ou gazeux. Pour cela :

  1. calculer les fractions molaires globales   pour chacun des   constituants ;
  2. poser pour chacun des   constituants   et à la température   calculer la pression de rosée   ;
  3. si   le mélange est entièrement gazeux, fin du calcul ;
  4. sinon, poser pour chacun des   constituants   et à la température   calculer la pression d'ébullition   ;
  5. si   le mélange est entièrement liquide, fin du calcul ;
  6. sinon,  , le mélange est biphasique et présente un équilibre liquide-vapeur : résoudre l'équation de Rachford-Rice.

Diagrammes de phase binaires idéauxModifier

PrincipeModifier

La relation de Duhem-Margules permet de démontrer que si dans un mélange binaire l'un des corps suit la loi de Raoult, alors le deuxième suit également la loi de Raoult (ou la loi de Henry).

On considère deux corps   et   dont le mélange suit la loi de Raoult à l'équilibre liquide-vapeur. On a six inconnues :

  • la température  ,
  • la pression  ,
  • les fractions molaires du corps   respectivement en phase liquide   et vapeur  ,
  • les fractions molaires du corps   respectivement en phase liquide   et vapeur  .

et quatre équations :

  • la loi de Raoult pour le corps   :  ,
  • la loi de Raoult pour le corps   :  ,
  • la contrainte sur les fractions molaires de la phase vapeur :  ,
  • la contrainte sur les fractions molaires de la phase liquide :  .

Les pressions de vapeur saturante   et   sont des fonctions de la température.

On a donc deux degrés de liberté, conformément à la règle des phases ; on choisit d'étudier le système soit à température constante, soit à pression constante, ce qui permet de tracer :

  • soit un diagramme de phase isotherme représentant l'évolution de la pression en fonction de la composition à température donnée,
  • soit un diagramme de phase isobare représentant l'évolution de la température en fonction de la composition sous une pression donnée.

Sur ces diagrammes deux courbes sont représentées :

  • la courbe d'ébullition représentant l'évolution de la pression ou de la température en fonction de la composition du liquide,
  • la courbe de rosée représentant l'évolution de la pression ou de la température en fonction de la composition de la vapeur.

Diagramme isothermeModifier

 
Diagramme binaire isotherme du mélange benzène-toluène obtenu avec la loi de Raoult.

La température   est fixée. On veut tracer l'évolution de la pression   en fonction de la composition.

Puisque la température est fixée, les pressions de vapeur saturante   et   sont constantes.

En considérant la contrainte sur la composition de la vapeur et la loi de Raoult :

 
 

Si l'on choisit, arbitrairement, le corps   comme référence, avec la contrainte sur la composition liquide on a :

 

on obtient la formule de la courbe d'ébullition :

Courbe d'ébullition :  

En considérant la contrainte sur la composition du liquide et la loi de Raoult :

 
 

Si l'on choisit, arbitrairement, le corps   comme référence, avec la contrainte sur la composition vapeur on a :

 

on obtient la formule de la courbe de rosée :

Courbe de rosée :  

La courbe d'ébullition est un segment de droite. La courbe de rosée est un arc d'hyperbole. Les deux courbes ne peuvent donc s'intercepter qu'en deux points, ces points correspondent aux points d'ébullition des deux corps purs. La loi de Raoult est ainsi incapable de représenter un azéotrope, point auquel le liquide et la vapeur d'un mélange binaire ont la même composition.

Diagramme isobareModifier

 
Diagramme binaire isobare du mélange benzène-toluène obtenu avec la loi de Raoult.

La pression   est fixée. On veut tracer l'évolution de la température   en fonction de la composition.

Les pressions de vapeur saturante   et   sont des fonctions de la température. En intégrant la formule de Clausius-Clapeyron, la pression de vapeur saturante d'un corps pur   peut être écrite, par exemple, selon la formule de Rankine :

 

avec :

  •   la température d'ébullition du corps pur   sous la pression  , il s'agit d'une constante ;
  •   la pression de vapeur saturante du corps pur   à la température   ;
  •   l'enthalpie de vaporisation du corps pur   à la température   (donc sous la pression  ), supposée constante dans l'établissement de la formule de Rankine (l'enthalpie de vaporisation dépend normalement de la température).

On pose :

 
 

Pour une température   donnée on a :

 
 
 
 

Si l'on choisit, arbitrairement, le corps   comme référence, en faisant varier la température   entre   et  , la courbe   est la courbe d'ébullition, la courbe   est la courbe de rosée.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Rachford, H.H. and Rice, J.D. : Procedure for Use of Electrical Digital Computers in Calculating Flash Vaporization Hydrocarbon Equilibrium, Journal of Petroleum Technology (Oct. 1952) No. 4, 19-20 ; Trans., AIME, 195 Lire en ligne.

Liens externesModifier

PublicationsModifier

  • La thermodynamique des solutions, E. Darmois, J. Phys. Radium 4, 7 (1943) 129-142.
  • Christophe Coquelet et Dominique Richon, « Propriétés thermodynamiques - Détermination pour les fluides purs », Techniques de l'ingénieur, base documentaire : Thermodynamique et énergétique, pack : Physique énergétique, univers : Énergies, BE 8030, pp. 1-8, 2007.
  • Christophe Coquelet et Dominique Richon, « Propriétés thermodynamiques - Détermination pour les mélanges », Techniques de l'ingénieur, base documentaire : Thermodynamique et énergétique, pack : Physique énergétique, univers : Énergies, BE 8031, pp. 1-12, 2007.
  • Jean-Pierre Corriou, « Thermodynamique chimique - Définitions et relations fondamentales », Techniques de l'ingénieur, base documentaire : Thermodynamique et cinétique chimique, pack : Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique, univers : Procédés chimie - bio - agro, J 1025, pp. 1-19, 1984.
  • Jean-Pierre Corriou, « Thermodynamique chimique - Diagrammes thermodynamiques », Techniques de l'ingénieur, base documentaire : Thermodynamique et cinétique chimique, pack : Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique, univers : Procédés chimie - bio - agro, J 1026, pp. 1-30, 1985.
  • (en) Robert C. Reid, John M. Prausnitz et Bruce E. Poling, The properties of gases and liquids, New York, McGraw-Hill, , 4e éd., 741 p. (ISBN 978-0-070-51799-8).
  • Jean Vidal, Thermodynamique : application au génie chimique et à l'industrie pétrolière, Paris, Éditions Technip, coll. « Publications de l'Institut français du pétrole. », , 500 p. (ISBN 978-2-710-80715-5, OCLC 300489419, lire en ligne).
  • Bruno Fosset, Jean-Bernard Baudin, Frédéric Lahitète et Valéry Prévost, Chimie tout-en-un PC-PC* : Le cours de référence, Dunod, coll. « Cours tout-en-un, Concours Écoles d'ingénieurs », , 1104 p. (ISBN 9782100584451, lire en ligne), p. 259.
  • J. Mesplède, Chimie - Thermodynamique Matériaux PC : Cours, méthode, exercices résolus, Éditions Bréal, coll. « Les nouveaux précis Bréal », (ISBN 9782749520643, lire en ligne), p. 125.

Articles connexesModifier