Lemme d'évitement des idéaux premiers

En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit :

Théorème —  Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers P1, … , Pn. Alors I est contenu dans l'un des Pi.

Il existe une version pour les anneaux gradués :

Théorème —  Soit B un anneau commutatif unitaire gradué. Soient P1, … , Pn des idéaux premiers de B et I un idéal homogène de B engendré par des éléments homogènes de degrés strictement positifs. Supposons que tout élément homogène de I appartient à la réunion des Pi. Alors I est contenu dans l'un des Pi.

Le lemme d'évitement est en général utilisé sous la forme de sa contraposée : si un idéal I n'est contenu dans aucun des idéaux premiers Pi, alors il existe un élément de I n'appartenant à aucun des Pi.

En géométrie algébrique, ce lemme dit que dans un schéma affine SpecA, si l'on se donne un nombre fini de points en dehors d'un fermé V(I), alors ces points restent en dehors d'un fermé principal V(f) contenant V(I). La version du lemme d'évitement pour les anneaux gradués implique que dans une variété projective, tout ensemble fini de points est contenu dans un ouvert affine.

Contre-exemple. Voici un exemple qui montre que le lemme d'évitement est faux pour les idéaux en général. Soit et considérons les idéaux et Alors I est contenu dans la réunion des Ji (cela peut se vérifier dans l'anneau quotient qui est un anneau local à 4 éléments), mais I n'est contenu dans aucun des Ji.

Remarque. Si A contient un corps infini ou si c'est un anneau principal alors, dans le lemme d'évitement des idéaux premiers, on peut prendre pour Pi des idéaux quelconques.

Résultats similaires dans d'autres structuresModifier

  • Dans un groupe, si un sous-groupe est contenu dans la réunion de deux autres sous-groupes, alors il est contenu dans l'un d'eux.
  • Dans un espace vectoriel sur un corps infini, si un sous-espace vectoriel E est contenu dans la réunion d'un nombre fini d'autres sous-espaces vectoriels F1, … , Fn, alors E est contenu dans l'un des Fi (cf. Union de sous-espaces vectoriels).
  • Le même résultat vaut pour les espaces affines sur un corps infini.

RéférencesModifier

  • (en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin/Cummings Publ. Co., 1980, page 2.
  • (en) Winfried Bruns et Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univ. Press, 1993, page 34.