K-théorie de Milnor

La K-théorie de Milnor, théorie mathématique introduite par John Milnor[1], fait partie des premières tentatives pour définir les groupes de K-théorie algébrique d'ordre supérieur.

DéfinitionModifier

Le calcul du K2 d'un corps F a conduit Milnor à la définition ad hoc suivante des K-groupes d'indices supérieurs par

 

donc comme le quotient (gradué) de l'algèbre tensorielle du groupe abélien F× par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1.

Le produit tensoriel sur T*F induit un produit KMm × KMnKMm+n qui fait de KM(F) un anneau gradué qui est commutatif (au sens gradué)[2].

ExemplesModifier

Pour n = 0, 1 ou 2, ces K-groupes de corps coïncident avec ceux de Quillen, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents.

KMn(Fq) = 0 pour n ≥ 2 (alors que le K-groupe de Quillen K2i – 1(Fq), pour i ≥ 1, est cyclique d'ordre qi – 1).

KM2() est un groupe divisible non dénombrable sans torsion.

KM2() est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

KM2(p) est la somme directe du groupe multiplicatif de Fp et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

KM2() est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et de sous-groupes cycliques d'ordre p – 1, pour tout nombre premier p impair.

Liens avec d'autres théoriesModifier

La K-théorie de Milnor joue un rôle fondamental en théorie des corps de classes supérieure (en), remplaçant KM1 utilisé en théorie des corps de classes de dimension 1.

La K-théorie de Milnor modulo 2, notée k(F), est liée à la cohomologie étale (ou de Galois) du corps F par la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voïevodski. L'énoncé analogue modulo un nombre premier impair est la conjecture de Bloch-Kato (en), démontrée par Voevodsky et Rost (de).

On définit le « symbole » {a1, … , an} comme l'image de a1⊗ … ⊗ an dans KMn(F) : si n = 2, c'est un symbole de Steinberg[3].

On définit pour tout n un morphisme[3] de kn(F) dans le groupe de Witt de F, en associant à ce symbole la forme de Pfister (en) de dimension 2n

 

Vu comme à valeurs dans In/In+1, ce morphisme est surjectif car les formes de Pfister engendrent additivement In[4]. La conjecture de Milnor s'interprète comme l'injectivité de ce morphisme[3].

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Milnor K-theory » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) John Willard Milnor, « Algebraic K-theory and quadratic forms », Invent. Math., vol. 9, no 4,‎ , p. 318-344 (lire en ligne).
  2. (en) Philippe Gille et Tamás Szamuely (de), Central simple algebras and Galois cohomology, CUP, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 101), (ISBN 0-521-86103-9, zbMATH 1137.12001, lire en ligne), p. 208.
  3. a b et c (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, Providence (R.I.), AMS, coll. « GSM » (no 67), , 550 p. (ISBN 0-8218-1095-2, lire en ligne), p. 366.
  4. Lam 2005, p. 316.