Formule de Faulhaber

En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme

par une fonction polynomiale de degré p + 1 en n[1], les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli :

.

Les coefficients qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés ).

Énoncé de la formuleModifier

Dans la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont  

Dans l'article, nous suivrons une convention vue moins souvent,  , tous les autres nombres de Bernoulli restant comme ci-dessus.

La formule de Faulhaber s'écrit (avec   et  ) :

  (avec   plutôt que  ).

Faulhaber ne connaissait pas la formule sous cette forme, qui a été découverte par Jacques Bernoulli, et qui est un cas particulier de la formule d’Euler-MacLaurin. Il connaissait au moins l'expression dans les 17 premiers cas, et le fait que lorsque l'exposant est impair, alors la somme est une fonction polynomiale de la somme dans le cas particulier où l'exposant est 1. Dans ses calculs, il doit manipuler la factorielle n! jusqu'à 24!, ce qui illustre son remarquable talent de calculateur, qu'il partage avec son correspondant Ludolph van Ceulen. Il est remarquable surtout par son anticipation des sommes multiples discrètes à une époque où l'analyse balbutie. Il utilise la k-symétrie, et donne aussi certaines généralisations remarquables[2].

ExemplesModifier

 
 
 
 
 
 
 

Une autre formeModifier

On peut voir la formule énoncée avec des termes allant de 0 à n – 1 plutôt que de 1 à n. Dans ce cas, la seule chose qui change est que nous prenons B1 = −1/2 plutôt que +1/2, donc le terme de deuxième plus haut degré dans chaque cas possède un signe moins plutôt qu'un signe plus.

  (avec  ).

La formule est valide pour tous entiers naturels p et n (y compris pour p = 0 , avec 00 = 1) :

 

 

 

 

 

 

Relation avec les polynômes de BernoulliModifier

On peut écrire (pour p et n entiers naturels) :

 ,

  est le polynôme de Bernoulli de rang p.

 
 
 
 

On a  , nombre de Bernoulli de rang p (avec  ).

Ceci provient du fait que   (1).

En effet par télescopage  ,

et par (1)  , d'où la formule.

Forme symboliqueModifier

Dans le calcul ombral classique, on traite formellement les indices j dans une suite Bj comme s'ils étaient des exposants, c’est-à-dire que, dans ce cas, on applique la formule du binôme de Newton, ce qui donne

 .

Dans le calcul ombral « moderne », on considère la forme linéaire T sur l'espace vectoriel des polynômes de variable b donnée par

 .

On peut alors écrire

 
 

Polynômes de FaulhaberModifier

La locution « polynômes de Faulhaber » est utilisée par certains auteurs pour faire référence à une autre entité que la suite de polynômes donnée ci-dessus.

Faulhaber a observé (sans en donner de preuve) que si p est impair, alors

 

est une fonction polynomiale de

 .

En particulier

 
 
 
(et donc  )
 
 

Quelques auteurs appellent ces polynômes  , avec  , « polynômes de Faulhaber » ; Donald Knuth a donné des démonstrations de ces résultats (et d'autres les généralisant encore) en n'utilisant que des méthodes que Faulhaber maîtrisait[2].

Expression utilisant les nombres de Stirling de seconde espèce.Modifier

Pour tout  , on a la relation :

 

où les   sont les nombres de Stirling de seconde espèce (nombre de partitions en i parties d'un ensemble à p éléments) et   (symbole de Pochhammer).

Par exemple  , et  .

Relations de récurrence liant ces sommesModifier

Relation de récurrence forte (Pascal 1655)Modifier

Les sommes   peuvent se calculer de proche en proche grâce à la relation  :

 .

En effet, par télescopage :  , et par la formule du binôme,  , d'où la formule annoncée.

Notons qu'ici   ;

alors,  ,

puis  , etc...

Relation de récurrence forte sur les  Modifier

Elle s'écrit

 .

La démonstration est similaire à la précédente :


En faisant   on obtient par exemple directement que  .

Et cette relation permet de montrer que   est un polynôme de degré   en  .

Expression matricielle des formules de Faulhaber[3]Modifier

Pour les sommes quelconquesModifier

De manière similaire au calcul de la relation de Pascal ci-dessus, en calculant de deux façons la somme  , on obtient la relation :

 .


Ces relations pour i de 1 à p constituent un système triangulaire dont sont solutions  .

Si   est la matrice carrée triangulaire inférieure d'ordre p définie par  , le système s'écrit

  ; on en déduit  .

Par exemple,  , et  .

On retrouve bien   (attention, ici la somme démarre à k = 1),  , etc.

La matrice   est la matrice obtenue en tronquant la diagonale principale et alternant les signes de la matrice de Pascal triangulaire inférieure.

Pour les sommes à exposants impairsModifier

La relation ci-dessus sur les sommes à exposants impairs peut aussi s'écrire :

 .

Ces relations pour i de 1 à p constituent un système triangulaire dont sont solutions  .

Si   est la matrice carrée triangulaire inférieure d'ordre p définie par  , le système s'écrit

  ; on en déduit  .

Par exemple,  , et  .

On retrouve bien  ,  ,   etc.

La matrice   est le double de la matrice obtenue en tronquant une diagonale descendante sur deux de la matrice de Pascal triangulaire inférieure.

BibliographieModifier

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Faulhaber's formula » (voir la liste des auteurs).
  1. Nulle en n = 0 (cf. « Somme vide ») donc produit de n par une fonction polynomiale de degré p.
  2. a et b (en) Donald E. Knuth, « Johann Faulhaber and sums of powers », Math. Comp., vol. 61,‎ , p. 277-294 (lire en ligne).
  3. (en) Giorgio Pietrocola, « On polynomials for the calculation of sums of powers of successive integers and Bernoulli numbers deduced from the Pascal's triangle », ?,‎ (lire en ligne)

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Faulhaber's Formula », sur MathWorld