Polynôme de Bernoulli

En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.

Polynômes de Bernoulli

Définition

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Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes   telle que :

  •  
  •  
  •  

Fonctions génératrices

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La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est

 .

La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est

 .

Les nombres d'Euler et de Bernoulli

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Les nombres de Bernoulli sont donnés par  .

Les nombres d'Euler sont donnés par  .

Expressions explicites pour les petits ordres

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Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

 
 
 
 
 
 
 

Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :

 
 
 
 
 
 
 

Propriétés des polynômes de Bernoulli

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Différences

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Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.

 
 

Dérivées

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Translations

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Symétries

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Autres propriétés

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Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité :   ou, plus simplement, de la somme télescopique

 

.

Valeurs particulières

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Les nombres   sont les nombres de Bernoulli.

 

Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :

 
 
 

Série de Fourier

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La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement[1] :

 ,

valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.

C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernoulli polynomials » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama et Masanobu Kaneko, Bernoulli Numbers and Zeta Functions, Springer, (lire en ligne), p. 61.

Voir aussi

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Bibliographie

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Articles connexes

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