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Matrice de Pascal

Matrice dont les coefficients sont des coefficients binomiaux
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Matrice et Pascal.

En mathématiques, et particulièrement en algèbre linéaire et combinatoire, la matrice de Pascal est une matrice dont les coefficients sont les coefficients binomiaux.

Sommaire

DéfinitionsModifier

Définition de U, S et LModifier

Il y a trois façons de la définir à partir des coefficients binomiaux   :

  • par une matrice symétrique que l'on notera S, définie par  
  • par une matrice triangulaire inférieure que l'on notera L, définie par  
  • par une matrice triangulaire supérieure que l'on notera U, définie par  

Définition à l'ordre nModifier

Il est possible de restreindre ces définitions à l'ordre n en définissant les matrices Un, Ln et Sn.

Pour n = 5, les matrices valent respectivement :

 

PropriétésModifier

Les deux matrices triangulaires Un et Ln sont transposées l'une de l'autre et l'un de leurs deux produits est égal à la matrice symétrique, plus précisément[1] :

 

Par conséquent (et puisque pour une matrice triangulaire, le déterminant est égal aux produit des coefficients diagonaux), detSn = detLn × detUn = 1 × 1 = 1.

Nous avons alors les relations suivantes :[réf. souhaitée]

  •  [Quoi ?]
  • detU = detL = detS[Quoi ?] = 1.

RéférenceModifier

  1. (en) Alan Edelman et Gilbert Strang, « Pascal's matrices », American Mathematical Monthly, vol. 111, no 3,‎ , p. 361-385 (DOI 10.2307/4145127, lire en ligne).

Voir aussiModifier