Matrice de Pascal

Matrice dont les coefficients sont des coefficients binomiaux

En mathématiques, et particulièrement en algèbre linéaire et combinatoire, la matrice de Pascal est une matrice dont les coefficients sont les coefficients binomiaux.

DéfinitionsModifier

Définition de U, S et LModifier

Il y a trois façons de la définir à partir des coefficients binomiaux   :

  • par une matrice symétrique que l'on notera S, définie par  
  • par une matrice triangulaire inférieure que l'on notera L, définie par  
  • par une matrice triangulaire supérieure que l'on notera U, définie par  

Définition à l'ordre nModifier

Il est possible de restreindre ces définitions à l'ordre n en définissant les matrices Un, Ln et Sn.

Pour n = 5, les matrices valent respectivement :

 

Autres écrituresModifier

  • On peut retrouver Un en cherchant la matrice relative à la base canonique de l'endomorphisme de Rn-1[X] qui à P associe P(X + 1).
  • On peut retrouver Ln en calculant l'exponentielle de la matrice n*n dont la sous-diagonale contient 1, 2, …, n-1 et zéro ailleurs, notée ici Mn[1]. De même on peut retrouver Un en utilisant à la place la matrice n*n dont la sur-diagonale contient 1, 2, …, n-1 et zéro ailleurs, notée ici Vn. On peut enfin en déduire Sn en utilisant la formule Sn = Ln*Un = exp(Mn) * exp(Vn). Attention, on n'a pas en général Sn = exp(Mn + Vn) car Mn et Vn ne sont pas commutatives pour la multiplication en général.

Démonstration du calcul de Ln pour n=5:

Soit la matrice triangulaire supérieure stricte de dimension   que l'on notera Mn, définie par  

Mn est n-nilpotente car triangulaire supérieure stricte[2]. On peut donc facilement calculer Ln = exp(Mn). Voir le calcul de l'exponentielle d'une matrice nilpotente.

         

PropriétésModifier

Les deux matrices triangulaires Un et Ln sont transposées l'une de l'autre et l'un de leurs deux produits est égal à la matrice symétrique, plus précisément[3] :

 

Par conséquent (et puisque pour une matrice triangulaire, le déterminant est égal aux produit des coefficients diagonaux), detSn = detLn × detUn = 1 × 1 = 1.

Nous avons alors les relations suivantes :[réf. souhaitée]

  •  [Quoi ?]
  • detU = detL = detS[Quoi ?] = 1.

RéférencesModifier

  1. « 🔎 Triangle de Pascal : définition et explications », sur Techno-Science.net (consulté le 19 novembre 2019)
  2. « Nilpotence matrice triangulaire supèrieur diagonale nulle [6 réponses] : ✯✎ Supérieur - 185969 - Forum de Mathématiques: Maths-Forum », sur www.maths-forum.com (consulté le 19 novembre 2019)
  3. (en) Alan Edelman et Gilbert Strang, « Pascal's matrices », American Mathematical Monthly, vol. 111, no 3,‎ , p. 361-385 (DOI 10.2307/4145127, lire en ligne).

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Triangle de Pascal

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Pascal Matrix », sur MathWorld