Série télescopique

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En analyse, l'expression série télescopique (ou somme télescopique) désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche. Cette situation est aussi appelée « méthode des différences ». Au lieu de l'expression « série télescopique » elle-même, on emploie parfois la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».

Si est une suite, la série télescopique correspondante est la série de terme général . La convergence de la série télescopique équivaut à la convergence de la suite  :

ExemplesModifier

  • L'exemple le plus connu est peut-être la formule des séries géométriques : on a ou, plus formellement, 
  • La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture de cette forme ; par exemple, puisque on a (si  ) : 
  • De nombreuses séries trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage : 
  • Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que (mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telescoping series » (voir la liste des auteurs).