Somme télescopique

(Redirigé depuis Série télescopique)

En analyse, l'expression somme télescopique désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche :

La formulation vient de l'image d'un télescope que l'on replie.

Lorsqu'on effectue cette simplification, on emploie en général la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».

Formule de télescopage et série télescopiqueModifier

Si   est une suite numérique, la série télescopique correspondante est la série de terme général  . La formule de télescopage s'écrit alors

 

La convergence de la série télescopique   équivaut donc à la convergence de la suite   .

On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration :  .

Exemples d'applicationsModifier

  ou, plus formellement,  

  • Les formules   et   s'obtiennent par télescopage après avoir écrit  .
  • La relation remarquable   peut s'obtenir par télescopage.

En effet, si  , alors

 

On en déduit

 
  • Plus généralement, les sommes des   premières puissances p-ièmes des entiers   peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655)  :  , formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme.
    En effet, par télescopage :  .
    Et par la formule du binôme,   d'où la formule annoncée.
  • La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque

  on a (si  ) :  

 

  • Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes   et   pour   :
     
    peuvent s'obtenir en multipliant par   , en linéarisant, puis en télescopant.
  • Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que

  (mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).

Application à la sommation par partiesModifier

Énoncé et démonstrationModifier

Si   et   sont des suites, la formule de sommation par parties s'écrit :

 

En effet, d'une part par télescopage,

 

et d'autre part :

 

Exemple d’applicationModifier

 , dont on on tire :

 

Produits infinisModifier

La même technique s’applique à des produits infinis dont le terme général est de la forme  . La formule de télescopage s'écrit alors

 

On peut ainsi démontrer la loi de Morrie : en remarquant que  , on a, en posant  ,

 

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telescoping series » (voir la liste des auteurs).