Formule d'Euler-Maclaurin

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En mathématiques, la formule d'Euler-Maclaurin (appelée parfois formule sommatoire d'Euler) est une relation entre sommes discrètes et intégrales. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de 1735, par le mathématicien suisse Leonhard Euler (pour accélérer le calcul de limites de séries lentement convergentes) et par l'Écossais Colin Maclaurin (pour calculer des valeurs approchées d'intégrales)[1].

Introduction : comparaison entre série et intégraleModifier

Soit f une fonction infiniment dérivable sur [1, +∞[ et n un entier naturel non nul.

On veut obtenir un développement asymptotique de la somme   en la comparant à l'intégrale  .

La formule d'Euler-Maclaurin donne une expression de la différence   en fonction des valeurs de la fonction et de ses dérivées aux extrémités 1 et n et d'un reste :

 

Les nombres   qui apparaissent dans la formule sont les nombres de Bernoulli.

La série obtenue n'est en général pas convergente mais on connaît plusieurs expressions du reste Rk,n de la formule qui permettent de majorer l'erreur ainsi faite.

ÉnoncéModifier

Formule d'Euler-MaclaurinModifier

Soient p et q deux entiers relatifs (p < q), f une fonction continue complexe définie sur [p, q]. L'énoncé qui suit exprime la somme   avec l'intégrale  , les valeurs de f (ainsi que de ses dérivées) aux extrémités f(p) et f(q) et d'un reste.

Si f est une fonction complexe continûment dérivable une fois sur le segment [p, q], la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :

  avec  

  est la partie entière de x, notée aussi E(x), et   est la partie fractionnaire de x.

Pour une fonction f continûment dérivable 2k fois sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :

 

Les nombres b2j désignent les nombres de Bernoulli et le reste Rk s'exprime à l'aide du polynôme de Bernoulli B2k :

 .

La notation B2k désigne le 2k-ième polynôme de Bernoulli et   en est une version périodisée, de période 1, égale à B2k(x) si 0 < x < 1.

 .

Les nombres de Bernoulli vérifient les égalités  .

D'autres expressions du reste sont données plus loin si la fonction f est 2k + 1 fois dérivable ou 2k + 2 fois dérivable.

Formules sommatoires d'Euler-MaclaurinModifier

Si l'on somme de p à q − 1 les nombres f (i), on a :

 .

Si l'on considère les nombres de Bernoulli d'indice impair : b1 = –1/2 et b2j +1 = 0 si j > 1, on peut énoncer la formule d'Euler-Maclaurin de la manière suivante[N 1] :

pour une fonction complexe f qui est r fois continûment dérivable (avec r > 0) :

 

On a   si k > 0.

Avec les notations précédentes, l'expression du reste R'r pour une fonction complexe r fois continûment dérivable (avec r > 0) est la suivante[N 1] :

 .

La notation Br désigne le r-ème polynôme de Bernoulli, et   en est une version périodisée, de période 1, égale à Br(x) si 0 < x < 1.

 .

(Les polynômes et les nombres de Bernoulli sont reliés par les égalités br = Br(0) = Br(1) si r > 1.).

Une autre formulation équivalente, où l'on somme de p + 1 à q, est donnée par Tenenbaum[2] : pour une fonction complexe f qui est r + 1 fois continûment dérivable (avec r ≥ 0) :

 .

Le coefficient (–1)j+1 n'intervient dans la formule que pour j = 0. Son rôle est de remplacer le nombre de Bernoulli d'indice 1, b1 = –1/2, par b'1 = +1/2.

Expressions du resteModifier

Si f est 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), le reste Rk s'exprime de la manière suivante :

 

Si f est 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), le reste Rk s'exprime comme suit[N 2] :

 

Si f est une fonction réelle 2k + 2 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), le reste peut s'écrire des manières suivantes[3] :

 

Si l'on considère les nombres de Bernoulli sans leur signe (on a  ), la dernière formule s'écrit[4] :

 

Remarque : le reste Rk est nul pour tout polynôme de degré au plus 2k + 1.

Signe et majorations du resteModifier

Si f est une fonction complexe 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice pair[N 3] :   :

 .

Par exemple, avec  , on a :  .

L'inégalité, comme celles qui suivent, peut être réécrite en utilisant la formule due à Euler (pour k ≥ 1) :  . On déduit que   (on a l'équivalent :  ).

 .

Si f est une fonction complexe 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice impair[N 3],[N 4] :   si   :

 [N 5].

on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin[5],[N 6] :

 .

Pour le polynôme de Bernoulli B3(t), on a le maximum   qui permet d'obtenir la majoration :

 .

Si f est une fonction réelle 2k + 2 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), dont la dérivée d'ordre 2k + 2 est de signe constant[N 7], le reste Rk a le même signe que le « premier terme négligé[6] » :

 .

De plus on a les majorations suivantes[6] :

 .

et

 .

(le reste suivant Rk + 1 n'excède pas (en valeur absolue) le « dernier terme retenu »[7]).

Si f est une fonction réelle 2k + 4 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), dont les dérivées d'ordre 2k + 2 et 2k + 4 sont de signe constant et de même signe, alors les restes Rk et Rk + 1 sont de signes opposés et le reste Rk est majoré (en valeur absolue) par le premier terme négligé[6] :

 .

DémonstrationModifier

On démontre la formule

 

sur l'intervalle [n, n + 1], avec n ∈ ℤ, puis on déduit la formule précédente par sommation sur n ∈ ℤ (p n q – 1).

Application à l'intégration numériqueModifier

Intégration numériqueModifier

La formule sommatoire peut être utilisée pour approcher des intégrales par un procédé discret, par exemple dans la méthode des trapèzes ou celle de Romberg, ou à l'inverse pour transformer une somme discrète (finie ou non) et lui appliquer les techniques du calcul infinitésimal.

La formule d'Euler-Maclaurin peut aussi être utilisée pour une estimation précise de l'erreur commise dans le calcul numérique d'une intégrale ; en particulier, c'est sur elle que reposent les méthodes d'extrapolation. La méthode d'intégration de Clenshaw-Curtis (en) est essentiellement un changement de variables ramenant une intégrale arbitraire à l'intégration de fonctions périodiques, pour lesquelles la formule sommatoire est très précise (dans ce cas, elle prend la forme d'une transformée en cosinus discrète).

Formules d'intégration d'Euler-MaclaurinModifier

Dans la méthode des trapèzes, on approxime l'intégrale   par interpolation linéaire sur chaque intervalle [n, n + 1] :  .

En sommant sur tous les intervalles de longueur 1, on approxime l'intégrale   par la somme

 

La formule d'Euler-Maclaurin peut s'écrire :

 

Un simple changement de variable permet d'obtenir une formule analogue pour une fonction définie sur un segment à bornes non entières. Les restes sont donnés avec le « point moyen »   pour une fonction dérivable 2k + 2 fois.

En posant  , on a[8] :

 .

Le « terme d'erreur » peut également s'écrire :  .

Si N = 1, on a une formule où n'interviennent que les extrémités a et b[9] :

 

Expressions du reste pour k = 0 et pour k = 1Modifier

Expressions de R0 et erreur de la méthode des trapèzesModifier

Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

 .
 .

(-R0) est l'erreur faite en approximant l'intégrale   par la méthode des trapèzes sur chaque intervalle [n, n + 1].

Si f est continûment dérivable une fois (on pose  [10]) :

 

Si f est une fonction réelle continûment dérivable deux fois[11] :

 

Formule de quadrature et terme d'erreur pour k = 1Modifier

Les polynômes de Bernoulli qui interviennent sont[N 8] :

 .
 .

(–R1) est le terme d'erreur correspondant à la formule de quadrature[12], exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à trois :

 

(dans l'article Calcul numérique d'une intégrale, il s'agit de la formule de Newton-Coates généralisée NC-2-2).

Si f est continûment dérivable deux fois (en posant  [10]) :

 

Si f est continûment dérivable trois fois :

 

Si f est une fonction réelle continûment dérivable quatre fois :

 

Autres applicationsModifier

Le problème de BâleModifier

Le problème de Bâle demandait de déterminer la somme  

Euler calcula cette somme à 20 décimales en utilisant seulement quelques termes de la formule d'Euler-Maclaurin. Ce calcul le convainquit probablement qu'elle valait π2/6, résultat qu'il publia en 1735 (mais avec des arguments incorrects ; il lui fallut six ans de plus pour trouver une démonstration rigoureuse)[13].

Sommes polynomialesModifier

Si f est un polynôme de degré d et si l'on applique la formule sommatoire avec p = 0, q = n et k choisi tel que d ≤ 2k +1, le reste Rk disparaît.

Par exemple, si f(x) = x3, on peut prendre k = 1 pour obtenir

 .

Développements asymptotiques de fonctions définies par une sérieModifier

Pour déterminer des développements asymptotiques de sommes et de séries, la forme la plus utile de la formule sommatoire est sans doute

 

a et b sont entiers. Ce développement reste souvent valide même lorsque l'on prend les limites quand a → –∞ ou b → +∞, ou les deux. Dans de nombreux cas, l'intégrale de droite peut être calculée de manière exacte avec des fonctions élémentaires, alors que ce n'est pas le cas de la somme.

Par exemple :

 

Ici, le membre de gauche est égal à  , c'est-à-dire à la fonction polygamma d'ordre 1 (appelée aussi fonction trigamma) définie à partir de la fonction Gamma :  .

La formule d'Euler Maclaurin amène à un développement asymptotique de  , lequel permet une estimation précise de l'erreur de la formule de Stirling pour la fonction Gamma :

 .
 

NotesModifier

  1. a et b Cohen 2007, p. 23. La formule avec son reste est donnée dans le cas, plus général, où les extrémités de l'intervalle sont des nombres réels a et a+N qui diffèrent d'un nombre entier naturel N. Cette formule est un cas particulier d'une formule donnée page 22 où les nombres de Bernoulli bj sont remplacés par les valeurs des polynômes de Bernoulli   aux extrémités a et b.
  2. Dieudonné 1980, p. 303. Selon Dieudonné, il suffit que f admette une dérivée (2k + 1)-ème continue par morceaux.
  3. a et b Dieudonné 1980, p. 301. Dieudonné note Bk les coefficients  .
  4. Cohen 2007, p. 19 donne la majoration suivante des polynômes de Bernoulli d'indice impair :  .
  5. Le résultat est valable pour k = 0 en prenant la valeur du prolongement analytique de la fonction   :  .
  6. Bourbaki, FVR, p. VI.20, donne la majoration  .
  7. Selon Bourbaki, FVR, p. VI.26, il suffit que f soit 2k + 1 fois dérivable et que la dérivée d'ordre 2k + 1 soit monotone.
  8. Deheuvels 1980, p. 189. Noter que dans la notation de Deheuvels, les nombres de Bernoulli sont considérés sans leur signe ( ).

RéférencesModifier

  1. « Formule d'Euler-MacLaurin [sic] », sur bibmath.net/dico.
  2. Tenenbaum 2008, p. 23.
  3. Rombaldi 2005, p. 527 ; Hardy 1949, p. 325.
  4. Deheuvels 1980, p. 185-187 et p. 195.
  5. Dieudonné 1980, p. 304.
  6. a b et c Cohen 2007, p. 25.
  7. Tenenbaum 2008, p. 26.
  8. Rombaldi 2005, p. 330.
  9. Deheuvels 1980, p. 188.
  10. a et b Hardy 1949, p. 318.
  11. Hardy 1949, p. 319.
  12. Rombaldi 2005, p. 328.
  13. (en) David J. Pengelley, « Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula », dans Robert Bradley et Ed Sandifer, Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002), Euler Society, (lire en ligne).

BibliographieModifier

  : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.