Application sous-linéaire

Soit un espace vectoriel sur . On dit qu'une application est sous-linéaire[1] lorsque :

  • pour tous vecteurs et de , (on dit que est sous-additive),
  • pour tout vecteur et tout , [2] (on dit que est positivement homogène[3]).

Une application sous-linéaire est aussi dénommée pseudo-jauge en analyse fonctionnelle.

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine. Une jauge est une pseudo-jauge à valeurs positives.

Notes et référencesModifier

  1. Cf. (en) Eric Schechter (en), Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313-314. Dans le cas particulier  , on trouve une définition équivalente dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », (1re éd. 2001) (ISBN 978-3-540-42205-1), p. 124 et dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I: Fundamentals, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », (ISBN 3-540-56850-6), p. 198.
  2. Pour   (avec la convention  ), cette condition implique  .
  3. Ou « positivement homogène de degré 1 ».