Application sous-linéaire

Soit $V$ un espace vectoriel sur ℝ. On dit qu'une application $s\,\colon \,V\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est sous-linéaire lorsque :

• pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $V$, $s(x+y)\leq s(x)+s(y)$ (on dit que $s$ est sous-additive),
• pour tout vecteur $x$ et tout $\lambda \geq 0$, $s(\lambda x)=\lambda \,s(x)$ (on dit que $s$ est positivement homogène).

Illustration de la fonction $\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\tfrac {4}{3}}\,x&{\textrm {si}}\ x\geq 0\\{\tfrac {1}{2}}\,x&{\textrm {si}}\ x<0\end{cases}}$

Une application sous-linéaire est aussi dénommée pseudo-jauge en analyse fonctionnelle.

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine. Une jauge est une pseudo-jauge à valeurs positives.