En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le domaine effectif d'une fonction à valeurs dans la droite réelle achevée est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur .

Définition

modifier

Le domaine effectif (ou simplement domaine) d'une fonction  , définie sur un ensemble  , est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur   (elle peut y prendre la valeur   cependant). On le note le plus souvent

 

On accepte que   prenne la valeur   sur son domaine pour que celui-ci soit convexe lorsque   est convexe.

Propriété

modifier

Domaine d'une fonction convexe — Soient   un espace vectoriel et   une fonction convexe. Alors le domaine de   est convexe.

On notera cependant que le domaine d'une fonction convexe fermée n'est pas nécessairement fermé. Par exemple la fonction log-barrière

 

est convexe fermée, mais son domaine effectif   n'est pas fermé dans  .

Bibliographie

modifier
  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. (ISBN 3-540-42205-6).
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.