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Fonction homogène

fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif

En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance.

Sommaire

DéfinitionsModifier

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.

Une fonction f de E dans F est dite homogène de degré α si

 .

Si K est un sous-corps des réels, on dit que f est positivement homogène de degré α si

 [1] .

Si K est un sous-corps des complexes, on dit que f est absolument homogène de degré α si

 .

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré α pour un certain α » ou « positivement homogène de degré 1 »[2].

ExemplesModifier

PropriétéModifier

Une fonction différentiable de ℝn dans ℝm est positivement homogène si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler et dans ce cas, ses dérivées partielles sont positivement homogènes (de degré 1 de moins).

Notes et référencesModifier

  1. Pour α = 1, c'est par exemple la définition de (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, (lire en ligne), p. 30. Mais d'autres auteurs préfèrent inclure le cas t = 0 dans la définition, imposant ainsi de plus  , comme (en) Eric Schechter (en), Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313 ou (en) V. F. Demyanov, « Exhausters of a positively homogeneous function », Optimization, vol. 45, nos 1-4,‎ , p. 13-29 (DOI 10.1080/02331939908844424).
  2. Par exemple, Rockafellar 1970, p. 30, donne la définition d'une fonction « positivement homogène (de degré 1) » et dans toute la suite, ne précise plus ce degré, et dans Schechter 1997, p. 30, le degré 1 est implicite dès la définition.

Voir aussiModifier