Fonction homogène

fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif

En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance.

Exemple de fonction homogène de degré 1

Définitions

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Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.

Une fonction f de E dans F est dite homogène de degré α si

 .

Si K est un sous-corps des réels, on dit que f est positivement homogène de degré α[note 1] si

 [2] .

Si K est un sous-corps des complexes, on dit que f est absolument homogène de degré α si

 .

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré α pour un certain α » ou « positivement homogène de degré 1 »[3].

Exemples

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Propriété

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Une fonction différentiable de ℝn dans ℝm est positivement homogène si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler et dans ce cas, ses dérivées partielles sont positivement homogènes (de degré 1 de moins).

Notes et références

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  1. appelé homogène de degré α dans certains ouvrages[1].

Références

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  1. Knut Sydsaeter, Peter Hammond (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Mathématiques pour l'économie [« Mathematics for Economic Analysis »], Pearson, .
  2. Pour α = 1, c'est par exemple la définition de (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, (lire en ligne), p. 30. Mais d'autres auteurs préfèrent inclure le cas t = 0 dans la définition, imposant ainsi de plus  , comme (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313 ou (en) V. F. Demyanov, « Exhausters of a positively homogeneous function », Optimization, vol. 45, nos 1-4,‎ , p. 13-29 (DOI 10.1080/02331939908844424).
  3. Par exemple, Rockafellar 1970, p. 30, donne la définition d'une fonction « positivement homogène (de degré 1) » et dans toute la suite, ne précise plus ce degré, et dans Schechter 1997, p. 30, le degré 1 est implicite dès la définition.

Voir aussi

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Article connexe

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Fonction de Cobb-Douglas

Lien externe

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« 4 Fonctions homogènes » (version du sur Internet Archive) : cours en ligne