Espace tangent (géométrie algébrique)

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En géométrie algébrique, on peut définir la notion d'espace tangent (de Zariski) sans faire (explicitement) de calcul différentiel. C'est en quelque sorte une première approximation de la structure locale du schéma.

Définition pour un anneau localModifier

Soit A un anneau local d'idéal maximal M. Soit   le corps résiduel de A. Pour aA et m, m'M, on remarque que

 

avec M2 le produit d'idéal de M par lui-même. Ainsi le quotient de A-modules   est un  -espace vectoriel ; on l'appelle espace cotangent et son dual espace tangent de Zariski de  . Notons-le  .

On a l'isomorphisme suivant :

 

avec   le produit tensoriel de A-modules. Ces espaces vectoriels sont de dimension finie si A est noethérien car M est alors un module de type fini.

Si   est un homomorphisme d'anneaux locaux noethériens, on a canoniquement une application  -linéaire  .

On sait que la dimension de l'espace tangent d'un anneau local noethérien   est toujours minorée par la dimension de Krull de  . Par définition, l'anneau local   est dit régulier s'il y a égalité.

Le cas des schémasModifier

Soit   un point d'un schéma  . Soient   l'idéal maximal de l'anneau local   de   en  . Rappelons que le corps   est le corps résiduel en  . L'espace tangent de Zariski de   en   est par définition l'espace tangent de l'anneau local  . On le note  .

La construction des espaces tangents est fonctorielle pour les schémas noethériens. Si   est un morphisme de schémas noethériens, alors   induit canoniquement une application linéaire  , où  . Cette application est l'application tangente de   en  , que l'on note parfois . Lorsque   (par exemple si   sont des variétés algébriques sur un corps et si   est un point rationnel de  ), c'est une application  .

Exemples

  • L'espace tangent de l'espace affine   sur un corps   en un point rationnel est de dimension  .
  • Supposons k algébriquement clos pour simplifier. Soit  . Alors l'espace tangent de   au point   est un k-espace vectoriel de dimension 2. Il est de dimension 1 aux autres points fermés, de dimension 0 au point générique.

Pour tout schéma localement noethérien   et pour tout point   de  , on a

 

La dimension de gauche étant la dimension de Krull de l'anneau local  , celle de droite étant la dimension vectorielle. L'égalité définit les points réguliers de  .

Fibré tangentModifier

Si   est un schéma lisse de dimension   sur un corps  , de sorte que le faisceau des différentielles relatives   sur   soit un fibré vectoriel de rang  , alors le faisceau dual   est aussi un fibré vectoriel de rang  . Pour tout point rationnel  , on a un isomorphisme canonique

  •  

Donc intuitivement les espaces tangents forment un fibré vectoriel au-dessus de  .

Espace tangent d'un sous-schéma fermé, critère jacobienModifier

Si   est une immersion fermée, alors pour tout point   de  , on a   et l'application tangente   est injective.

Exemple On prend pour   l'espace affine de dimension   sur un corps   et   la sous-variété fermée définie par des polynômes   à   variables. Soit   un point rationnel de  . Pour tout polynôme  , notons   la forme linéaire sur  

 

C'est la différentielle de   en  . Après avoir identifié l'espace tangent de   en   avec  , on a un isomorphisme de   avec l'intersection des sous-espaces vectoriels :

 

Autrement dit,  .

Soit   la matrice   dont les lignes représentent les formes linéaires  . Alors on a   (c'est le théorème du rang de l'application linéaire  ).

Théorème —  (Critère Jacobien) La variété algébrique   est régulière en un point rationnel   si et seulement si le rang de la matrice jacobienne   en   est égal à  .

Exemple Si   est une hypersurface définie par un polynôme non nul  . Alors   est régulière en un point rationnel   si et seulement si la matrice jacobienne en   est de rang 1. Ce qui revient à dire qu'une des dérivées partielles de   en   est non nulle. Par conséquent,   est une variété algébrique lisse si et seulement si   et ses dérivées partielles engendrent l'idéal unité dans  .