Loi Gamma

Famille de lois de probabilité de distribution de variables aléatoires positives
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Loi Gamma
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Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres réel
réel
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane pas d'expression formelle
Mode pour
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments pour
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma ou loi Gamma est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut, entre autres, la loi du χ² et les distributions exponentielles. Une distribution Gamma est caractérisée par deux paramètres qui affectent respectivement la forme et l'échelle de sa représentation graphique. Les distributions Gamma sont utilisées pour modéliser une grande variété de phénomènes, et tout particulièrement les phénomènes se déroulant au cours du temps où par essence, le temps écoulé est une grandeur réelle positive ; c'est le cas par exemple dans l'analyse de survie.

Définition et propriétésModifier

DéfinitionModifier

Une variable aléatoire X suit une loi Gamma de paramètres k et θ (strictement positifs), ce que l'on note aussi   (où Γ est la majuscule de la lettre grecque gamma) si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :

 ,

x > 0 et Γ désigne la fonction Gamma d'Euler.

Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme α = k et d'un paramètre d'intensité   :

 .

Les deux paramétrages sont également répandus, selon le contexte.

SommeModifier

Si chaque Xi suit la loi Γ(ki, θ) pour i = 1, 2, ...,  N, et si les variables aléatoires Xi sont indépendantes, alors :

 .

Changement d'échelleModifier

Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon

Γ(k,  tθ) où θ est le paramètre d'échelle

ou

Γ(α,  β/t) où β est le paramètre d'intensité (rate parameter).

Lien avec les autres distributionsModifier

Contraintes sur les paramètresModifier

  • Si  , alors X a une distribution exponentielle de paramètre λ.
  • Si  , alors X est identique à une variable χ2(ν), la distribution de la loi du χ² avec ν degrés de liberté.
  • Si k est un entier, la loi Gamma est une distribution d'Erlang.
  • Si  , alors X a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre a.

Autres manipulationsModifier

  • Si X a une distribution Γ(k, θ), alors 1/X a une distribution loi Gamma inverse, de paramètres k et θ−1.
  • Si X et Y sont distribuées indépendamment selon des lois Γ(α, θ) et Γ(β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) a une distribution beta de paramètres α et β.
  • Si Xi sont distribuées selon des lois Γ(αi, θ) respectivement, alors le vecteur (X1 / S,  ...,  Xn / S), où S = X1 + ... + Xn, suit une distribution de Dirichlet de paramètres α1,  ...,  αn.
  • Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale, de moyenne   et de variance  . De plus, quels que soient k et θ, en fixant de cette manière les constantes   et  , les densités de probabilité de la distribution Gamma Γ(k, θ) et de la loi normale   ont alors deux points d'inflexion aux mêmes abscisses, à savoir   et  .

Propriété de concentrationModifier

Si  , alors[1] pour tout  ,   et  .

RéférencesModifier

  1. (en) VERZELEN, Nicolas et GASSIAT, Elizabeth, « Adaptative estimation of high-dimensional signal to noise ratios », arXiv,‎ , p. 41 (lire en ligne)