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En théorie des probabilités et en statistique, le kurtosis (du nom féminin grec ancien κύρτωσις, « courbure »), aussi traduit par coefficient d’acuité[1], coefficient d’aplatissement et degré de voussure, est une mesure directe de l’acuité et une mesure indirecte de l'aplatissement de la distribution d’une variable aléatoire réelle. Il existe plusieurs mesures de l'acuité et le kurtosis correspond à la méthode de Pearson.

C’est le deuxième des paramètres de forme, avec le coefficient d'asymétrie (les paramètres fondés sur les moments d’ordre 5 et plus n’ont pas de nom propre).

Il mesure, abstraction faite de la dispersion (donnée par l’écart type), la répartition des masses de probabilité autour de leur centre, donné par l’espérance mathématique, c’est-à-dire, d’une certaine façon, leur concentration à proximité ou à distance du centre de probabilité.

DéfinitionsModifier

Kurtosis non normalisé (coefficient d’aplatissement)Modifier

Étant donnée une variable aléatoire réelle   d’espérance   et d’écart type  , on définit son kurtosis non normalisé comme le moment d’ordre quatre de la variable centrée réduite :

 

lorsque cette espérance existe. On a donc :

 

avec   les moments centrés d’ordre  .

Kurtosis normalisé (excès d’aplatissement)Modifier

Le kurtosis non normalisé étant défini en fonction de moments centrés, il est malaisé à manipuler lorsqu’il s’agit de calculer celui de la somme de variables indépendantes.

On définit ainsi le kurtosis normalisé en fonction de cumulants :

 

Sachant que   et  [2], on a alors :

 

PropriétésModifier

DimensionModifier

Les moments centrés   et cumulants   ayant pour dimension celle de la variable   élevée à la puissance  , les kurtosis   et   sont des grandeurs adimensionnelles.

Plage de valeurModifier

Soit la variable aléatoire réelle  . Cette variable aléatoire a pour espérance   et pour variance  . Sachant que  , on en déduit alors que :

  •  
  •  

Cette limite inférieure n’est atteinte que dans le cas de la loi de Bernoulli de paramètre   (un seul tirage à pile ou face avec une pièce parfaitement équilibrée). Pour la loi normale, on a  .

Le kurtosis n’a pas de limite supérieure.

Somme de réalisations indépendantesModifier

Soient   une variable aléatoire réelle et   la somme de   réalisations indépendantes de   (exemple : la loi binomiale de paramètres   et  , somme de   réalisations indépendantes de la loi de Bernoulli de paramètre  ). Grâce à la propriété d’additivité des cumulants, on sait que  , donc :

 

TypologieModifier

Un coefficient d’aplatissement élevé indique que la distribution est plutôt pointue en sa moyenne, et a des queues de distribution épaisses (fat tails en anglais, fat tail au singulier). Cela se déduit en considérant la distribution   définie plus haut, dont l’espérance vaut 1 et dont le moment centré d’ordre deux est le kurtosis non normalisé de  . Comme son espérance est fixée, son moment d’ordre deux ne peut évoluer que par compensation : pour l’augmenter, il faut de l’inertie en position éloignée, contrebalancée par de l’inertie proche. En d’autres termes, on « pince » les flancs et les probabilités se déplacent par conséquent vers le centre et les extrémités.

Le terme d'« excès d’aplatissement », dérivé de kurtosis excess en anglais, utilisé pour le kurtosis normalisé peut être source d’ambiguïté. En effet, un excès d’aplatissement positif correspond à une distribution pointue et un excès d’aplatissement négatif à une distribution aplatie (on s’attendrait à l’inverse).

Distribution mésokurtiqueModifier

Si  , on parle de distribution mésokurtique (ou mésocurtique). La loi normale est un cas particulier de distribution mésokurtique pour laquelle le coefficient de dissymétrie   vaut 0.

Distribution leptokurtiqueModifier

Si  , on parle de distribution leptokurtique (ou leptocurtique). La notion de leptokurticité est très utilisée dans le milieu de la finance de marché, les échantillons ayant des extrémités plus épaisses que la normale, impliquant des valeurs anormales plus fréquentes[3].

Distribution platikurtiqueModifier

Si  , on parle de distribution platykurtique (ou platycurtique, platikurtique, platicurtique). Pour une même variance, la distribution est relativement « aplatie », son centre et ses queues étant appauvries au profit des flancs.

Exemples de kurtosis pour quelques distributions absolument continuesModifier

La figure suivante représente quelques distributions à densité unimodales centrées réduites symétriques ( ,   et  ).

Loi de probabilité Kurtosis normalisé Symbole dans la figure Couleur dans la figure
Loi de Laplace 3 D Courbe rouge
Loi sécante hyperbolique 2 S Courbe orange
Loi logistique 1,2 L Courbe verte
Loi normale 0 N Courbe noire
Loi du cosinus surélevé -0,593762… C Courbe cyan
Loi triangulaire -0,6
Loi du demi-cercle -1 W Courbe bleue
Loi uniforme continue -1,2 U Courbe magenta

Estimateur non biaiséModifier

Une utilisation naïve des définitions théoriques   et   du coefficient d’aplatissement entraîne des mesures biaisées. Plusieurs logiciels de statistiques (SAS, Tanagra, Minitab, PSPP/SPSS et Excel par exemple, mais pas BMDP) utilisent un estimateur non biaisé pour la loi normale du kurtosis normalisé :

 

  et   sont des estimateurs non biaisés respectivement de l’espérance et de la variance.

Voir aussiModifier

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Notes et référencesModifier

  1. Geneviève Coudé-Gaussen, Les poussières sahariennes, John Libbey Eurotext, (ISBN 9780861963041, lire en ligne), p. 471
  2. Voir Cumulant (statistiques)#Cumulants et moments.
  3. Régis Bourbonnais et Michel Terraza, Analyse des séries temporelles, 2e édition, Dunod, 2008, p. 296.

Articles connexesModifier